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TRAZADORES CUBICOS

Diego López
Monitor
Fernando Ceballos
Profesor Análisis Numérico

Dados n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn) con x0, x1,..., xn numeros reales diferentes, y f alguna función de valor real definida en un intervalo [a, b], que contiene a x0, x1,..., xn, se pretende aproximar la función f por segmentos o trazas. Deantemano vamos a suponer que:

[pic]

La idea es aproximar la función f en cada subintervalo [xk, xk+1], k = 0, 1,..., n-1, usando un polinomio de grado menor o igual a tres, el cual supondremos de la forma:

[pic], k = 0, 1,..., n-1

[pic]

Para que los pk interpolen los puntos, se deben verificar las siguientes condiciones:
1. [pic], k = 0, 1,..., n-1 (condición básica deinterpolación)
Esta condición supone n+1 condiciones.
2. [pic]k = 0, 1,..., n-1 (condición de continuidad)
Esta condición supone n-1 ecuaciones.
3. [pic]k = 0, 1,..., n-1 (condición de primera derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
4. [pic]k = 0, 1,..., n-1 (condición de segunda derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
5. [pic](condiciones defrontera)
Al verificar las condiciones 1., 2., 3. y 4., se asegura que los pk tienen sus primeras y segundas derivadas en los puntos x0, x1,..., xn, en este caso se dice que los pk son trazadores cúbicos que aproximan la función f. Ahora, si se cumple la condición 5.a., el trazador cúbico se llama natural, y si cumple la condición 5.b., el trazador cúbico se llama de frontera sujeta (no sonmutuamente excluyentes).

Una forma de construir un trazador cúbico para una función f en [x1, xn] es la siguiente:

Efectuando la condición 1.

[pic], k = 0, 1,..., n-1 y [pic]

y luego, aplicando la condición 2., para k = 0, 1,..., n-2

[pic]

Si notamos hk = xk - xk+1, k = 0, 1,..., n-1, usamos que ak = f(xk), y definimos an = f(xn), entonces

[pic], k = 0, 1,..., n-2 (1)

(ya que[pic])

Por otra parte, p'(xk) = bk para k = 0, 1,..., n-1, si aplicamos la condición 3., obtendremos

[pic], k = 0, 1,..., n-2

Si definimos bn = p'n-1(xn), entonces

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (2)

(ya que [pic])

Ahora

[pic], k = 0, 1,..., n-1

entonces

[pic], k = 0, 1,..., n-1

y si aplicamos la condición 4., obtendremos

[pic]

[pic], k = 0, 1,..., n-2

Si definimos[pic], entonces

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (3)

(ya que [pic], o sea [pic])

Despejando dk de la ecuación (3), obtenemos

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (ecuación para encontrar dk)

y sustituyendo en la ecuación (1) y (2), obtenemos

[pic]

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (4)

y

[pic]

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (5)

Despejando bk en (4), obtenemos

[pic], k = 0, 1,..., n-1 (ecuación parapoder encontrar bk)

y aumentando el índice en uno en la anterior ecuación, se tiene que

[pic]

y sustituyendo en (5), se tiene que

[pic]

[pic]

lo que nos lleva finalmente a que

[pic]
para k = 0, 1,..., n-2

En este sistema final las incógnitas son ck, k = 0, 1,..., n, ya que ak = f(xk), k = 0, 1,..., n, y hk = xk+1 - xk, k = 0, 1,..., n, son conocidos.

Este sistema es den−1 ecuaciones con n+1 incógnitas, pero si usamos las condiciones de frontera se introducen dos nuevas ecuaciones, con lo cual obtenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas.

[pic]

[pic], [pic]
 
Esta matriz a es una matriz tridiagonal estrictamente dominante diagonalmente por filas, popr lo tanto, el sistema dado tiene solución única para c0, c1, ..., cn.
Conocidos los valoresc0, c1, ..., cn, podemos obtener los valores b0, b1, ..., bn-1 y d0, d1, ..., dn, usando las ecuaciones señaladas para tal propósito.
 
La solución a este sistema de ecuaciones se usa para para encontrar un trazador cùbico natural, el siguiente resultado permitirá buscar un trazador cúbico que no es natural:
 
Si f está definida en el intervalo [a, b], entonces f tiene un único trazador...