Matlab

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PARTE II: COMANDOS BÁSICOS DE MATLAB

OBJETIVOS:
Conocer y trabajar con los comandos básicos de MatLab.
Introducción a trabajo con MatLab en la solución de problemas matemáticos y técnicos.

REPRESENTACIONES DE FOURIER PARA LAS SEÑALES

Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes tipos de señales.Estas cuatro clases están definidas por las propiedades de periodicidad de una señal y si el tiempo es de tipo continuo o discreto. Las señales periódicas tienen representación en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica a señales periódicas de tiempo continuo mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a señales periódicas de tiempo discreto. Las señales no periódicas tienenrepresentación en forma de transformada. Si la señal es continua en el tiempo y no periódica, la representación es llamada Transformada de Fourier (FT). Si la señal es discreta en el tiempo y no periódica entonces la representación usada es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La siguiente tabla ilustra la relación entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación deFourier adecuada.

Tiempo Periódicas No periódicas
Continuas Series de Fourier
( FS ) Transformada de Fourier
( FT )
Discretas Series discretas de Fourier
( DTFS ) Transformada discreta de Fourier
( DTFT)

La siguiente tabla muestra las relaciones matemáticas utilizadas para calcular las representaciones de Fourier.

Tiempo Periódicas No periódicas
Continuas Series de Fourierx(t)=∑_(K= - ∞)^∞▒〖X[k]〗 e^(jkw_o t)

X[k]= 1/T ∫_T▒〖x(t)〗 e^(-jkw_o t) dt

x(t) tiene perido T
w_o= 2π/T Transformada de Fourier

x(t)= 1/2π ∫_(-∞)^∞▒〖X(jw)〗 e^jwt dw

X(jw)= 1/2π ∫_(-∞)^∞▒〖x(t)〗 e^(-jwt) dt



Discretas Series discretas de Fourier

x[n]=∑_(K= N)^∞▒〖X[k]〗 e^(jkΩ_o n)

X[k]= 1/N ∑_(n= N)^∞▒〖x[n]〗 e^(-jkΩ_o n)

x[n] y X[k] tienenperido N
Ω_o= 2π/N Transformada discreta de Fourier

x[n]= 1/2π ∫_(-π)^π▒〖X(e^jΩ)〗 e^jΩn dΩ


X(e^jΩ)= ∑_(n= -∞)^∞▒〖x[n]〗 e^(-jΩn)

X(e^jΩ) tiene periodo 2 π


La Transformada Discreta de Fourier (DTFS)

La DTFS es la única representación de Fourier que es de valor discreto tanto en el tiempo como en la frecuencia y de esta manera implícitamente conveniente para unaimplementación computacional en MATLAB. Las expresiones utilizadas para esta representación son fácilmente implementables en MATLAB como archivos. Sin embargo los comandos built-in de MATLAB fft y ifft pueden también ser utilizados para evaluar la DTFS. Dado un vector llamado x de longitud N representando un periodo de una señal periódica x[n]. El comando:

>> X=fft(x)/N

Produce un vector llamadoX de longitud N que contiene los coeficientes de la DTFS. MatLab asume que el periodo evaluado en la señal es desde 0 hasta N-1, de manera que el primer elemento de x y X corresponden a x[0] y X[0] respectivamente, mientras que los últimos elementos corresponden a x[N-1] y X[N-1]. Nótese que la división por N es completamente necesaria, debido a que el comando fft evalúa la siguiente expresión sinrealizar la división por N.



Similarmente, dados los coeficientes de una DTFS en un vector llamado X el comando:

>>x=ifft(X)*N

Produce un vector x que representa un periodo de la señal en el tiempo. Nótese que el comando ifft debe estar multiplicado por N para evaluar la siguiente ecuación.


Los comandos fft e ifft son computados usando un algoritmo rápido onuméricamente eficiente, conocido como “Fast Fourier Transform”.

Ejemplo 1:
Determinar los coeficientes DTFS para la siguiente señal:


La señal tiene un periodo de 24, de manera que tan solo se hace necesario definir un periodo y evaluar sobre este periodo la DTFS. Los comandos usados para realizar dicho cálculo son:
>> n = 0:23;
>> x = ones(1,24) + sin( (n * pi / 12) + (3 * pi / 8 ) );
>> X...