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MATEMÁTICA GUÍA º 11 “A ÁLISIS GRAFICO DE FU CIO ES”
En esta guía se tratará sobre: Análisis de Funciones: Se realizará un análisis completo de todos los aspectos relevantes de la gráfica de las funciones: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Dominio. Imagen. Ceros. Conjuntos de Positividad y de Negatividad. Extremos Relativos: Máximos y Mínimos. Intervalos de Crecimiento y deDecrecimiento. Ordenada al Origen. Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos. Rectas Asíntotas y Polos. A ÁLISIS DE FU CIO ES 1) Dominio atural: El "dominio natural" de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida. O sea es el conjunto de todos los valores de "x" a los se le asigna un valor de "y". Si una función está dada gráficamente, su dominio sepuede obtener proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobre el eje "x", como se muestra en el gráfico que sigue. El conjunto así obtenido es el dominio de la función.

y
6 5 4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 0

Recta Asíntota

Dominio de la función Se obtiene proyectando todos los puntos de la gráfica sobre el eje "x" (−∞ ; 2] U (4 ; ∞ )

x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Si la funciónestá dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio natural se puede obtener aún sin graficar según los siguientes criterios:
Matemática - Análisis de Funciones - 1 -17

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a) Funciones Polinómicas: En todas las funciones polinómicas el dominio está formado por todos los números reales; pues siempre es posible elevar un número real a una potencia de exponentenatural, luego multiplicarla por otro real, y por último sumar o restar con otro término similar. Polinomio de grado cero: Polinomio de grado uno: Polinomio de grado dos: Polinomio de grado tres: Polinomio de grado "n": y
3
1

P0 = 5 P1 = 2 x + 3 P2 = 4 x2 − x + 1 P3 = 2 x3 + 7 x2 − 5 x + 8 Pn = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

Funciones Polinómicas

−5 0

5

x

Su Dominioson todos los números Reales

−3

Df = » = (−∞ ; ∞)

b) Funciones Racionales: La función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en forma genérica de grados "m" y "n" respectivamente. En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de números reales salvo los valores aislados de "x" que hacen cero al polinomio denominador. Esto es así debido a que nopodemos "nunca" dividir por cero.
Función Racional
P (x) Q n (x)
m

Df = R − {X1;X 2 ;... X n }
Ceros de Qn (x)

f(x) =

En la siguiente gráfica se muestra una función racional, y se observa que su dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la función presenta una discontinuidad llamada polo o asíntota vertical: al acercarnos más y más a x = 2 la funcióncrece o decrece indefinidamente (crece hasta +∞ o decrece hasta −∞. Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1.
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x y= x − 2

y

3
Recta Asíntota

1

x
−5 0 5
Recta Asíntota

Df = » − {2} Df = ( −∞;2 ) ∪ ( 2; ∞ )
−3

c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice Par:
Función Irracional

yy=

3− x

Df = ( −∞; 3] 3

1

x
−5

0

5

La función irracional compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de una expresión que depende de "x", tiene como dominio el conjunto de valores de "x" en los cuales el radicando no sea negativo (puede ser positivo o cero). En caso contrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la función, pues la raíz cuadrada (o deíndice par) de un número negativo no tiene resultado real, como vimos en la guía N° 1 "Conjuntos Numéricos".

Para calcular el dominio en estos casos, hay que plantear una inecuación: el radicando debe ser mayor o igual a cero:

3−x≥0 3≥x x≤3 Df = ( −∞;3]

⇒

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En el caso de que la expresión irracional (de índice...