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MATEMÁTICA II UTP












INTRODUCCIÓN


La presente es la guía de ejercicios y problemas de Matemática II para el estudiante .Su
elaboración está decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanzaaprendizaje de la asignatura de Matemática II.

La guía contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una de las semanas de clase que serealizarán en el presente semestre académico por lo que está dividida en V unidades, de acuerdo al sílabo correspondiente. Estas unidades son Función Exponencial y Logarítmica, Límites y Continuidad, Derivadas, Integrales, Matrices y Determinantes.

Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea un instrumento básico de trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable laconsulta permanente con la bibliografía
recomendada.



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Facultad de Administración y Negocios

MATEMÁTICAS II
SEMANAS 1,2

FUNCIÓN EXPONENCIAL


DEFINICIÓN

Una función de la forma f(x)= ax con a  0 , a  1 y x cualquier número real, es una función
exponencial. El número a se llama base de la función exponencial o factor de crecimiento.
Df = Ry Rf = 0,
Ejemplos: f(x) = 2x , g(x) = 4x , g(x)=(3/5)x , h(x) = πx NOTA: Las funciones
 f(x) = (-2)x , g(x) = 0 x y h(x) = 1x no son exponenciales


 g(x) = (-2)x la base -2 es menor que 0

GRÁFICA

Si a>0 f(x) es creciente


Y

8
6

4
2
1

-6 -4 -2 0 2



PROPIEDADES
a). ax a y = a x+y
x


















X -4b) a 0 =1

Si 0 < a < 1 f(x) es decreciente


Y

8
6

4
2
1

-2 0 2 4 6 X




c) (a x) y =a xy
a
d)

y
x y 1  y
 a e)  a
y
a a



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2. Trazar la gráfica de f(x) = 5x3  4 hallando el dominio y rango
Solución
Y
a. Base: 5 entonces la función es creciente
b. Asíntota horizontal y = 4 5
c. Punto de paso x- 3=0
resultax=3 y f(3 ) = 5 4

Rf  4, Df  

3 X


FUNCIÓN LOGARITMO


DEFINICIÓN

f: 0 ,  
x f(x) = log a x

La función logarítmica en base a es la
función inversa de la exponencial en base
a  0, a  1
Recordemos que
x


4. Logaritmos comunes, cuya base es el
número diez : Log 10(x) = log(x)

5. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a labisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones
reciprocas o inversas entre sí.


f(x)=ex
1. a  y  log a y  x
2. La función logaritmo en base a del
número x > 0 se escribe loga x .
Donde y representa el exponente al que a>0
debemos elevar la base a para que el f(x)= ln(x)
resultado sea x
algxa o x

3. Logaritmos naturales oneperianos cuya
base el número trascendente
  2071828182 8
Log e(x) = ln(x)


PROPIEDADES
1. Los números negativos no tienen logaritmos
2. El logaritmo del número 1 es cero.
3. El logaritmo de los números mayores que uno son positivos
4. El logaritmo de los números mayores que cero y menores que uno son negativos



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5.
log a xy  log a x  log a y

6.Log (A.B.C) = log(A) + log(B)+ log(C)


A

El logaritmo de un producto
es igual a la suma de los logaritmos de las
expresiones a efectuar.
El logaritmo de un cociente,
log b x 
log a x
log a b
Log ( )= log(A) - log(B) - log(C)
BC
es igual a la diferencia de
los logaritmos de las
expresiones a efectuar.

7. log



a

k
x  k log x
a
;

n m
A B
log  n log A  mlog B  u log C
C u

El logaritmo de una
potencia es igual a la potencia por el
logaritmo de la base
8. log a ax  x

log r
n m
A B
C u

n log A  m log B  u log C
r
El logaritmo de una raíz, es
igual al logaritmo de una
expresión sub-radical,
dividido entre el índice de l
raíz

Ejemplos 1.Trazar la gráfica de f (x)  log 2 x


Y
3
x f (x)  log x
2
1/8 -3...