Matrices 458

CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

6.13.

103

EJERCICIOS

1. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila:
B
T
R
L = 180 250 200
donde B=Blanco, T=Tinto y R=Rosado, y los precios pagados por cada litro en la matriz
columna:
 
28 B

1
5 T
P =
1 R
on de los resultados obtenidos.
Halla los productos LóP y PóL dando una interpretaci´
2. Dado elgrafo de la figura:

Calcula su matriz de adyacencia, R. Calcula la matriz R2 , ¿qu´e representan los elementos de
esta matriz respecto al grafo?.
3. En la siguiente cadena de igualdades indica cu´
al no es siempre correcta:
(A + B) · (A − B) = A · (A − B) + B · (A − B) = A · A − A · B + B · A − B · B =
= A2 − A · B + A · B − B 2 = A2 − B 2
4. Una empresa fabrica 3 tipos de art´ıculos R, S y T. Losprecios de coste y los de venta por unidad
y el n´
umero de unidades vendidas de cada art´ıculo quedan reflejadas en esta tabla:

R
S
T

Precio de coste
6
9’2
14’3

Precio de venta
18
28
40

Unidades vendidas anualmente
2240
1625
842

Sabemos que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de venta ,
V, es una matriz fila.
a) Determina las matrices C, I y V.
b) Obt´en, apartir de los anteriores, la matriz de ingresos anuales, A, correspondiente a los tres
art´ıculos, la matriz de gastos anuales, G, y la de beneficios anuales, B.
5. Dadas las matrices:
A=
Se pide obtener:


−1 0
B= 2
2 
−1 −1


1 2 3
2 1 1

C=

1 −1
1 0

C + A · B, C −1 + (A · B)−1 , (C + A · B)−1 , |C|, |C −1 |

CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

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6. Calcula las inversas, si existen,utilizando el m´etodo de Gauss, de las siguientes matrices:
0 1
A=
2 0


−1 1 2
D =  1 0 3
1 1 1

1 −2
1 2
B=
C=
3 4
3 6




2 −1 0
1 2 3
E = 3 1 2 F = 0 0 1
5 0 1
4 9 1

7. Calcula, utilizando determinantes, las inversas de las matrices del ejercicio anterior.
8. Un fabricante produce 3 tipos de clavos, de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos
ellos se fabrican en longitudesde 1;1’5;2 y 2’5 cent´ımetros con los precios respectivos siguientes:
Clavos A: 0’02

0’03

0’04

0’05

(en

û

)

Clavos Q: 0’03

0’05

0’06

0’08

(en

û

)

Clavos H: 0’04

0’06

0’08

0’1

(en

û

)

Sabiendo que en un minuto se producen:
De 1 cm de longitud: 100 A
De 1’5 cm de longitud: 200 A
De 2 cm de longitud: 500 A
De 2’5 cm de longitud: 300 A

50 Q
20 Q
30 Q
10 Q

700 H
600 H
400 H
800H

Se pide:
a) Resumir la informaci´on anterior en dos matrices M y N , siendo M de tama˜
no 3x4 y recoge
la producci´
on por minuto y N de tama˜
no 4x3 que recoge los precios.
b) Calcular los elementos de la diagonal principal de M · N y dar su significado.
c) Hacer lo mismo para N · M .


2 2 1
9. Dada la matriz A = 1 3 1, se pide:
1 2 2
a) Calcular (A − I3 )2 · (A − 5I3 ), siendo I3 lamatriz identidad correspondiente.
b) Obtener At y razonar si existe A−1
10. Calcular, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:
a a2 a3
b b2 b3
c c2 c3
11. a) Calcular una matriz X tal que verifique la igualdad A · X = B, siendo:
A=

2 3
, B=
1 2

1 1
2 −1

b) ¿Verifica tambi´en la matriz X la igualdad X · A = B?


5 −4 2
12. Dada la matriz A =  2 −1 1, comprobar que A2 = 2A−I3 , siendo I3 la matriz identidad.
−4 4 −1
Usando la f´
ormula anterior, calcula A4 .

CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

13. Dadas las matrices: A =

1 2
, B=
2 3
A+B
,
2

105

−3 2
, calcular:
2 −1
(A − B)2 ,

A−1 ,

B −1

14. a) ¿Qu´e caracter´ıstica deber´ıan tener las matrices A y B para que se puedan efectuar los productos AB y BA.
b) Encontrar una matriz X talque AX + B = C, siendo:
A=

1 1
, B=
2 1

1 1 0
, C=
1 2 1

0 1 1
1 1 3

c) ¿Se puede calcular alguna matriz Y tal que Y A + B = C?
15. Obtener los valors de x, y y z que verifiquen la
 

1
1
 2  x + 2
−1
0

siguiente ecuaci´
on matricial:

 
1
1
y


1
= 0
z
1
0

16. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:
a)

2
8
2 8
1 4
=
=8
24...