Matrices dispersas

INTRODUCCION

Anteriormente se generaban demasiados problemas matemáticos sin solución a sus incógnitas debido a que no existían métodos para ayudar a resolverlos, con el avance de la tecnología e informática estos problemas fueron disminuyendo pues aquellas cosas que al resolverlas manualmente tardaban días, meses o hasta años, se podían ahora solucionar mediante algoritmos pocos complejosque me permitieran una mayor rapidez con las respuestas al momento de introducirlos en un programa.

Para este trabajo se utilizara matlab el cual tiene varios comandos que me permiten implementar de una manera fácil algoritmos a soluciones de ecuaciones y generar matrices de alto orden. En el presente informe veremos la comparación entre métodos directos e indirectos que me permiten hallarsistemas de ecuaciones comparando sus operaciones, su tiempo de ejecución y la complejidad de este además de unas pequeñas aplicaciones que tienen tanto estos métodos como las matrices dispersas en la ingeniería, por ultimo encontraran una crítica matemática y unas conclusiones del informe.

OBJETIVOS

 Conocer las diferencias entre los métodos directos e indirectos de soluciones a sistemas deecuaciones y comparar estos métodos para saber cual es más eficaz al momento de resolverlas.

 Aplicar los conocimientos obtenidos sobre matrices dispersas y como se generan.

 Analizar el grado de complejidad del algoritmo de cada método

 Diferenciar las ventajas y desventajas de cada uno de los métodos.

MATRICES DISPERSAS

Se llama matriz dispersa a una matriz cuyos elementos lamayoría son cero. Se dice que una matriz es dispersa cuando se puede hacer uso de técnicas especiales para sacar ventaja del gran número de elementos ceros que posee. Hay dos tipos de matrices dispersas:
• Matrices estructuradas: Los elementos no cero forman un patrón regular, por ejemplo, se agrupan a lo largo de un número pequeño de diagonales.
• Matrices no estructuradas: Los elementos no cerose distribuyen de forma irregular.
En el primer caso se pueden diseñar métodos basados en la estructura de las matrices, mientras que en el segundo caso sólo se puede hacer uso de la ‘dispersidad’ de la matriz.

Para nuestro trabajo generaremos la siguiente matriz dispersa con diferentes tamaños:



Para esto la implementaremos en matlab para generarla:

clc;
n=input('Digite n, Tamaño dela Matriz Cuadrada: ');

D = sparse(1:n,1:n,-2*ones(1,n),n,n);
E = sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);
S = E+D+E';
A=full(S);
d=full(D);
e=full(E);

B=ones(n,1).*-1.5;
B(1)=-0.5;
B(n)=0.5;

C=A;
C
B
A(:,n+1)=B;

El anterior código va a generar una matriz dispersa del tamaño n que yo desee, por ejemplo de 10*10:



METODOS DIRECTOS
Nos permite dar solución numérica a lossistemas de ecuaciones lineales. Estos métodos proporcionan las respuesta al problema en un numero fijo de pasos; la bondad de la solución que obtienen solo se ve afectada por los errores de redondeo del sistema de numeración en coma flotante de la maquina u ordenador que lleva a efecto esos pasos. Veamos algunos a continuación:
• Eliminación de Gauss: El método de Eliminación de Gauss consiste entransformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.
Resultado de forma directa de gauss en matlabbasados en la matriz dispersa del tamaño que quiera creada anteriormente:
Dispersa;
fprintf('\n ** Resultado por Metodo Gauss ** \n\n');
tic;
X2=C\B;
toc;
X2


Grafica del tiempo para el metodo de Gauss:

n=100;
for i=1:3
tic
Gauss;
Tj(i)=toc;
Tn(i)=n;
n=n+50;
end
Tn
Tj
plot(Tj)

Numero iteraciones:
Tn =
100 150 200

Tiempo Gauss Jordan:...