matrices ecuaciones
Páginas: 12 (2811 palabras)
Publicado: 19 de marzo de 2013
───────────────────── Apuntes de Matemáticas I (Grado de Derecho + Adm. y Dirección de Empresas) FCEE ────
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Cuando un barco busca depósitos petrolíferos mar
adentro, sus computadores resuelven miles de sistemas de
ecuaciones lineales independientes diariamente.
-1.- MATRICES-----------------------------------------------------------
-- -INTRODUCCIÓN
El estudio de los determinantes y las matrices se llevó a cabo inicialmente en
el siglo XIX y aunque consideradas únicamente como innovadoras del lenguaje
matemático, ya que por sí mismas no dicen directamente algo que no esté dicho
ya por las ecuaciones y las transformaciones aunque de manera más amplia, hoy
nadie discute su importancia como herramientas altamente útiles y se contemplancomo una parte fundamental del aparato matemático.
Históricamente los determinantes surgieron a partir de la búsqueda de
soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Fue Gauss el primero en nombrar la
palabra determinante, pero es a Cauchy a quien se debe la disposición de los
elementos en cuadrado y la notación de los subíndices dobles, así mismo
proporcionó
el
primer
tratamientosistemático
y
casi
moderno
de
determinantes.
CONCEPTO DE MATRIZ
Definición 1.1.: Una matriz real de orden
números reales
1
es una tabla ordenada de
los
──── Cristóbal Chamizo Guerra y Mª Carmen Domínguez Herrero ───────────────────────────────────────
En la cual las líneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el
de columnas.
En la matrizpor
el elemento situado en la fila
y en la columna
se denota
, donde el primer subíndice nos indica la fila en la que está situado y el
segundo la columna. De esta forma, una matriz genérica se denota por
,
,
o bien
1
.
,1
El conjunto de todas las matrices reales de orden mxn se denota por
de modo que una matriz genérica también se denota por
ó
.
Lasmatrices con el mismo número de filas que de columnas
el nombre de matrices cuadradas
,
,…
de orden
reciben
y en ellas los elementos
forman la diagonal principal.
Las matrices de orden 1
se llaman matrices fila y las de orden
1
matrices columna.
Los vectores son matrices columna que, por comodidad, se representan en
forma de n-upla.
Las
matrices
cuadradas
cuyoselementos
situados
por
encima
(respectivamente por debajo) de la diagonal principal son todos cero, las
llamamos matrices triangulares inferiores (respectivamente triangulares superiores).
Si la matriz es triangular superior e inferior a la vez, tenemos la matriz diagonal.
2
───────────────────── Apuntes de Matemáticas I (Grado de Derecho + Adm. y Dirección de Empresas)FCEE ────
0
0
0
0
0
,
,
0
•
Si
, la matriz diagonal A se llama matriz escalar
•
En el caso en que
1 , la matriz escalar se llama matriz identidad.
•
En el caso en que
0 la matriz escalar es la matriz cero o matriz nula θ.
OPERACIONES CON MATRICES
Definición 1.2.: (Suma de matrices) Sean
suma de A y B es la matriz real de orden
la matriz
,
:
,,
La suma de matrices de órdenes distintos no está definida.
Proposición 1.1 (Propiedades de la suma de matrices)
1.
(operación interna)
,
2.
3.
(asociativa)
,,
La matriz nula de orden
verifica
(existencia del elemento neutro).
4.
La matriz opuesta de
definida por
,
,
verifica que
(Existencia del elemento opuesto)
5.
(conmutativa)
,Ejemplo 1.1
1
3
2
1
0
2
01
23
1
3
4
2
3
0
2
210
132
4
2
134
520
──── Cristóbal Chamizo Guerra y Mª Carmen Domínguez Herrero ───────────────────────────────────────
Definición 1.3.: (Producto de un escalar por una matriz), (operación externa) Sean
y
(número real o escalar). La matriz producto de
es la matriz real de orden
por
:
·
,
,...
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Cuando un barco busca depósitos petrolíferos mar
adentro, sus computadores resuelven miles de sistemas de
ecuaciones lineales independientes diariamente.
-1.- MATRICES-----------------------------------------------------------
-- -INTRODUCCIÓN
El estudio de los determinantes y las matrices se llevó a cabo inicialmente en
el siglo XIX y aunque consideradas únicamente como innovadoras del lenguaje
matemático, ya que por sí mismas no dicen directamente algo que no esté dicho
ya por las ecuaciones y las transformaciones aunque de manera más amplia, hoy
nadie discute su importancia como herramientas altamente útiles y se contemplancomo una parte fundamental del aparato matemático.
Históricamente los determinantes surgieron a partir de la búsqueda de
soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Fue Gauss el primero en nombrar la
palabra determinante, pero es a Cauchy a quien se debe la disposición de los
elementos en cuadrado y la notación de los subíndices dobles, así mismo
proporcionó
el
primer
tratamientosistemático
y
casi
moderno
de
determinantes.
CONCEPTO DE MATRIZ
Definición 1.1.: Una matriz real de orden
números reales
1
es una tabla ordenada de
los
──── Cristóbal Chamizo Guerra y Mª Carmen Domínguez Herrero ───────────────────────────────────────
En la cual las líneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el
de columnas.
En la matrizpor
el elemento situado en la fila
y en la columna
se denota
, donde el primer subíndice nos indica la fila en la que está situado y el
segundo la columna. De esta forma, una matriz genérica se denota por
,
,
o bien
1
.
,1
El conjunto de todas las matrices reales de orden mxn se denota por
de modo que una matriz genérica también se denota por
ó
.
Lasmatrices con el mismo número de filas que de columnas
el nombre de matrices cuadradas
,
,…
de orden
reciben
y en ellas los elementos
forman la diagonal principal.
Las matrices de orden 1
se llaman matrices fila y las de orden
1
matrices columna.
Los vectores son matrices columna que, por comodidad, se representan en
forma de n-upla.
Las
matrices
cuadradas
cuyoselementos
situados
por
encima
(respectivamente por debajo) de la diagonal principal son todos cero, las
llamamos matrices triangulares inferiores (respectivamente triangulares superiores).
Si la matriz es triangular superior e inferior a la vez, tenemos la matriz diagonal.
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───────────────────── Apuntes de Matemáticas I (Grado de Derecho + Adm. y Dirección de Empresas)FCEE ────
0
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,
,
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•
Si
, la matriz diagonal A se llama matriz escalar
•
En el caso en que
1 , la matriz escalar se llama matriz identidad.
•
En el caso en que
0 la matriz escalar es la matriz cero o matriz nula θ.
OPERACIONES CON MATRICES
Definición 1.2.: (Suma de matrices) Sean
suma de A y B es la matriz real de orden
la matriz
,
:
,,
La suma de matrices de órdenes distintos no está definida.
Proposición 1.1 (Propiedades de la suma de matrices)
1.
(operación interna)
,
2.
3.
(asociativa)
,,
La matriz nula de orden
verifica
(existencia del elemento neutro).
4.
La matriz opuesta de
definida por
,
,
verifica que
(Existencia del elemento opuesto)
5.
(conmutativa)
,Ejemplo 1.1
1
3
2
1
0
2
01
23
1
3
4
2
3
0
2
210
132
4
2
134
520
──── Cristóbal Chamizo Guerra y Mª Carmen Domínguez Herrero ───────────────────────────────────────
Definición 1.3.: (Producto de un escalar por una matriz), (operación externa) Sean
y
(número real o escalar). La matriz producto de
es la matriz real de orden
por
:
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