matrices en algebra

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Dpto. de MATEMATICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES
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Seccion departamental en la E.T.S.I. de Montes. Algebra

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices
´
• Sistemas lineales. Solucion de un sistema lineal.
• Sistemas homog´ neos.
e
• Sistemas equivalentes. Operaciones elementales.
• M´ todo de Gauss.
e
´
• Definicion de matriz. Operaciones con matrices.
• Matriz elemental.Inversa de una matriz.

1.- Sistemas lineales. Solucion de sistemas lineales.
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´
Definicion 1.1.- Llamamos sistema de “n” ecuaciones con “ m” incognitas
´
(x1 , x2 , x3 , . . . xm ) a:

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +




 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +
S
.
.
.
.
.
.
.
.
 .



an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 +


· · · +a1m xm = b1
· · · +a2m xm = b2
.
.
...
.
.
.
.· · · +anm xm = bn

Donde aij ∈ R con i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , m} reciben el nombre de
coeficientes y bi ∈ R con i ∈ {1, · · · , n} el de t´ rminos independientes.
e
Normalmente, por comodidad, expresaremos el sistema S como

 E1 (x1 , x2 , . . . , xm ) = b1




 E2 (x1 , x2 , · · · , xm ) = b2
S
.
.
.
.
.
.




En (x1 , x2 , · · · , xm ) = bn
Definicion 1.2.- Decimos que (s1 , s2 , · · · , sm ) con si ∈ R i ∈ {1, 2 · · · m}
´
´
es una solucion del sistema S si verifica las “n” ecuaciones de S, es decir, si al
sustituir en el sistema xi por si las igualdades se convierten en identidades
num´ ricas.
e
´
Definicion 1.3.- Atendiendo al numero de soluciones los sistemas se clasi´
fican en

´
• Sistemas incompatibles. No admiten ningunasolucion
x−y =4
−x + y = 0
• Sistemas compatibles.
´
´
– Sistemas compatibles determinados. Admiten una unica solucion
x−y =4
x+y =0
´
– Sistemas compatibles indeterminados. Admiten m´ s de una solucion
a
x−y =4
−x + y = −4
2.- Sistemas homog´ neos.
e
Definicion 2.1.- Un sistema lineal que tiene todos sus t´ rminos independi´
e
entes igual a cero, es decir, bi = 0 ∀i ∈ {1, 2 · ·· n} recibe el nombre de sistema
homog´ neo.
e
Todo sistema lineal

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · +a1m xm = b1




 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · +a2m xm = b2
S
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 .



an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · +anm xm = bn

tiene asociado el sistema homog´ neo
e

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +




 a21 x1 + a22x2 + a23 x3 +
S
.
.
.
.
.
.
.
 .
 .


an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 +


· · · +a1m xm = 0
· · · +a2m xm = 0
.
.
...
.
.
.
.
· · · +anm xm = 0

Un sistema homog´ neo es siempre compatible puesto que (0, 0, . . . , 0) es
e
´
´
´
siempre solucion del sistema, nos referiremos a dicha solucion como solucion
trivial.
´
Proposicion 2.2.-Si un sistema homog´ neo tieneuna solucion distinta de
´
e
cero =⇒ tiene infinitas soluciones.
Dem.´
Si (s1 , s2 , · · · , sm ) es solucion del sistema homog´ neo entonces (λs1 , λs2 , · · · , λsm )
e
´
es solucion de S.H. para todo λ ∈ R.

´
Proposicion 2.2.-Si (s1 , s2 , · · · , sm ) es una solucion de un sistema lineal
´
´
y (h1 , h2 , · · · , hm ) una solucion del sistema homog´ neo asociado =⇒ (s1 +
e
´
h1, s2 + h2 , · · · , sm + hm ) es tambi´ n solucion del sistema lineal.
e
Dem.- Si

 E1 (s1 , s2 , . . . , sm ) = b1




 E2 (s1 , s2 , · · · , sm ) = b2
.
.
.
.
.
.




En (s1 , s2 , · · · , sm ) = bn



 E1 (h1 , h2 , . . . , hm ) = 0




 E2 (h1 , h2 , · · · , hm ) = 0
.
.
.
.
.
.




En (h1 , h2 , · · · , hm ) = 0


se sigueentonces

 E1 (s1 + h1 , s2 + h2 , . . . , sm + hm ) = b1




 E2 (s1 + h1 , s2 + h2 , · · · , sm + hm ) = b2
.
.
.
.
.
.




En (s1 + h1 , s2 + h2 , · · · , sm + hm ) = bn


Proposicion 2.3.-Si un sistema lineal tiene dos soluciones distintas =⇒ tiene
´
infinitas soluciones.
Dem.Sean s = (s1 , s2 , . . . , sm ) y s = (s1 , s2 , . . . , sm ) dos soluciones...