Matrices Fundamentos

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN
PROGRAMA DE EDUCACION A DISTANCIA

Matrices
Mg. Gisella Maquen Niño
gluisamn@crece.uss.edu.pe

FICHA DE MOTIVACION
•

Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro
productos. El numero de horas que cada máquina es usada para la elaboración de
un producto, viene dada por la siguiente tabla:

PRODUCTO 1

PRODUCTO 2

PRODUCTO 3

PRODUCTO4

MAQUINA 1

1

2

1

2

MAQUINA 2

2

0

1

1

MAQUINA 3

1

2

3

0

a.

¿Cuál
es la máquina
que es usada por mas tiempo para la elaboración del Producto 1?
MAQUINA
2

b.

¿Cuáles
son la1máquina
usadas 2por menos tiempo para la elaboración del Producto 3?
MAQUINA
Y MAQUINA

c.

¿Cuál
es el producto
PRODUCTO
1 que es elaborado en mas tiempo por la maquina 2?

d.

¿Cuáles
son los productos
queson elaborados
en menos tiempo por la maquina 1?
PRODUCTO
1 Y PRODUCTO
3

e.

¿Cuál
es el producto
PRODUCTO
4 que no es elaborado por la maquina 3?

f.

Cual es el orden de la Matriz X que se forma de la relación Maquina/Producto

g.

¿La matriz X es una matriz cuadrada?

h.

¿Cuál sería el elemento x32 de matriz X?

i.

¿Cuál sería el elemento x23 de matriz X?

3x4

3x4

No. Si fuera cuadrada #filas = # columnas
=2
=1

El concepto de matriz
El ordenamiento de números en filas y columnas se conoce como
una matriz, y los elementos de esta matriz se llaman entradas de la
matriz. Ejemplos de matrices son:
 1 2



3
0
A= 
;
  4 5



 2

B=  e

 0

1  

0 1 / 2 ;

0 0 

C=  2  1 0 1;

1
 
1
D= 1
 
1
 

El tamaño o dimensión de una matriz de define comoel número de filas
por el número de columnas. En el ejemplo, la primera matriz es de
dimensión 3x2, la segunda es de 3x3, la tercera es de 1x4 y la cuarta es
de 4x1. Si una matriz es de dimensión 1xn, como en el tercer ejemplo, se
llamará un vector fila, mientras que una matriz nx1, como en el cuarto
ejemplo, se llamará un vector columna. En general se usarán las
primeras letras mayúsculas delalfabeto para denotar una matriz, es
decir, se escribirán como A, B, C, etc.. Las entradas de una matriz se
denotarán como aij y representarán la entrada que se encuentra en la fila
i-ésima y la columna j-ésima.

Tipos de Matrices
 Matriz
A=

Nula

Matriz Identidad
 
B

=
Si A=0 Cuanto vale “x“ e “y” X=1, Y=2

=

Si B=1 Cuanto vale “x“ e “y” X=2, Y=3

Matriz Escalar

Matriz Simétrica

 C=

 D=

==

 

Si C es una matriz escalar de valor
7
Si D es una matriz simétrica Cuanto
Las filas se
X=3
Cuanto vale “x“ e “y”
vale
X=2,
Y=5
convierten
en “x“
columnas

Matriz Transpuesta
 V =

=

 

Matrices Iguales
 M =

 

N=

2x3

Hallar la transpuesta de la matriz V

3x2

Si M y N son iguales. Cuanto vale
“x“, “y”, ”a”, ”b” x=3, y=9 a=4 b=1

Operaciones con matrices
Definición (Suma de matrices):Sean A={aij} y B={bij} matrices de la
misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de
dimensión mxn, donde

cij = aij + bij ,

esto es, la suma de las entradas correspondientes.
Ejemplo:
2   0 2  2
 1 2  4   1 0

  
 

 0 3  1   1  5  1  1  2  2 
Definición (Resta de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la
misma dimensión mxn. La resta A - B es lamatriz C={cij} de
dimensión mxn, donde

cij = aij - bij ,

esto es, la suma de las entradas correspondientes.
2   2 2  6
 1 2  4   1 0
Ejemplo:

  
 

 0 3  1   1  5  1   1 8 0 
 1 2  4  1 0  2  2 2  6

  
 

0 3  1   1 5 1    1 8 0 

Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de
dimensión mxn y B={bkj} unamatriz de dimensión nxs. El producto
AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es
el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.
Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido
solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de
filas de B.
Columna 3

Fila 2
Ejemplo:

 2  1 0


  3 5 8
 0
7 8 

 

 3

.  6
...