Matrices - pontificia universidad católica de chile

Guía Econometria E-250 Prof. Verónica Gil - Aldo Lema

Matrices

10. ANEXO 2: MATRICES
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 10.1 (Control 2, 2do. Semestre de 1998) a) Complete las siguientes expresiones: (A+B) = (ABC) = Si AA = A se dice que A es

(A' )

1

( AB)

1

Si z Az es una forma cuadrática Si det (A) = 0 se dice que A es b) Explique cómo se calcula A
1

z ' Az z

.
1c) ¿Qué determina la existencia de A ? d) Explique el concepto de rango de una matriz y sus propiedades. e) ¿Qué se entiende por valores y vectores propios de una matriz? ¿Cómo se calculan?

Ejercicio 10.2 (Control 1, 2do. Semestre 1999) a) Si A, B, C y D son matrices de orden 100*100, donde se verifica que DA=I y tr(CB)=150, encuentre tr(ABCD).

b)

A

1 1 3 0 0 3 , Encuentre A-1.¿Cuáles son las condiciones que aseguran la existencia de la 1 0 1

inversa de una matriz?

c)

A

1 0 0 0 1 0 , encuentre el rango de A 0 0 1

d) Demuestre que e)

(A' A) 1 A ' A

1

Sea X una matriz cualquiera de orden m*n, e I la matriz identidad de orden m, demuestre que

M

I X(X ' X ) 1 X' es idempotente.

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MatricesEjercicio 10.3 (Control 1, 1er. Semestre 2005) Considere las siguientes matrices:

A

1 0 1 2 1 1

y B

1 0 0 1 1 0

a) Calcule AB, B A b) Encuentre la inversa de AB Demuestre que si Z = A( A' A) idempotente). d) Calcule el rango de AB c) e) Sea el vector b
1

A' , entonces se cumple que ZZ=Z (o sea que Z es

b1 b2

, calcule

(b' ABb) b

Ejercicio 10.4 (Control 1, 1er.Semestre 2006) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, comentando sus razones. 1. 2. Un conjunto de vectores que contenga tres vectores iguales es linealmente independiente. Sean A y B matrices de 200*200, C y D matrices de 200*50 y E y F matrices de 50*50. Si se cumple que AB=I y C DEF=I, luego la traza de (AB-DEFC ) es 50. La matriz A= I3-(1/3)ii es idempotente, por tantotiene determinante nulo. Sea y un vector cualquiera Ay es igual a la identidad. Si x (no nulo) verifica que Ax= x entonces la matriz (A- I) es no singular. Si =0 es valor propio de A, entonces Ax=0 tiene un única solución.

3.

4. 5.

Ejercicio 10.5 (Control 1, 1er. Semestre 2007)

2 3
1. Dada la matriz A

5 1 4 2
(2) A A

calcular:

(1) A

(3) Inv (A A)=(A A)-1

2. Encuentre elvalor t, tal que la matriz A

1 0 2

2 3 2

1 1 sea singular. t

¿Qué condición tiene que cumplir t para que el sistema Ax=0 tenga una solución distinta de la trivial (x 0)?

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¿Qué condición tiene que cumplir t para que el sistema Ax Ejercicio 10.6 (Prueba 1, 2do. Semestre 2007) Considere el sistema de ecuaciones:
ax+ y + 4z = 2 2x + y + a 2 z = 2 x 3z = a

t 1 1 t

tenga solución única?

a) Escriba el sistema en notación matricial: Aw=b donde w = x, y, z ' . b) ¿Para qué valores de a la matriz A es singular (no tiene inversa)? c) Asuma que el valor de a es tal que la inversa de A existe. Encuentre los valores de x, y, z que solucionan el sistema. d) Calcule la traza de ww' y de w' w si a es igual a 3.Ejercicio 10.7 (Control 2, 1er. Semestre 2007) La matriz A= In-(1/n)ii es una matriz simétrica e idempotente. a) Demuestre que A es simétrica e idempotente. b) Demuestre que Ai=0 c) Demuestre que Ae=e si el modelo de regresión tiene constante.

d) Sea y un vector cualquiera Ay es igual a la identidad. Comente, indicando sus razones. e) ¿Cómo serán los valores propios de A? Explique.Ejercicio 10.8

Sea: A

1 3 4 5

2 1

2 4 y B 1 6 0 5

a) Obtenga AB y su traza. b) Obtenga BA y su traza. c) Encuentre la inversa de AB.

Ejercicio 10.9 Resuelva los siguientes ejercicios: a) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 5y - z = 0 x 2y = 4 y 2z = 1

Plantee el sistema en términos matriciales Ax=b y resuélvalo mediante el uso de matriz inversa. b) Explique qué...