Matrices_Sistemas

Germán Jesús Rubio Luna

Catedrático de Matemáticas

del IES Francico Ayala

Matrices. Grafos (pag. 8). Sistemas de Ecuaciones (pag. 14)
Matrices de números reales. Definiciones
Def.- Consideremos el cuerpo (cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumar,
restar, multiplicar y dividir) de los números reales R. Una matriz de números reales de
orden “mxn” (se lee ”m” por “n”) esuna tabla de “mxn” números ordenados en “m” filas y
en “n” columnas de la siguiente forma
 a11 a12

 a 21 a 22
A=  ... ...

 am1 am2

... a1n 

... a 2n  ← fila 2
... ... 

... amn 
↑ Columna 2

Donde los aij son números reales, el subíndice i (el 1º) indica la fila donde está colocado el
número aij, y el subíndice j (el 2º) indica la columna donde está colocado elelemento aij.
Es como si jugáramos al juego de los barquitos, fila i, columna j.
3


−1 4

3 2  es una matriz de orden 3x4. Veamos algunos elementos
2 5


2

** La matriz A=  4

3
 1 −1


a23=3 (elemento que está en la fila 2 y la columna 3)
a34=5; a12=2, a32=-1 etc...
Def.- Matriz fila es la que tiene una sola fila
** (1 3 -4 5) esta es de orden 1x4
Def.- Matrizcolumna es la que tiene una sola columna
 − 2
 

**  3  esta es de orden 3x1
 1 
 

Def.- Una matriz escalonada por filas es una matriz tal que en cada fila el número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que en la fila anterior.
**

1

0
A= 
0

0


4 −1 7
0 5
1
0 0 −2
0 0
0

9

1
es
2

1


una matriz escalonada de orden 4x5Def.- Una matriz cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas.
**

1 8

4 6
 1 −1

2 − 4


3 − 2

5 0 
2 3 

0 1 


es una matriz cuadrada de orden 4x4. Se suele decir que es de orden 4

** (3) es una matriz cuadrada de orden 1x1.
Def.- Dos matrices A=(aij)mxn y B=(bij)mxn son iguales sii tienen el mismo orden y son iguales los elementoscolocados en el mismo sitio, es decir aij=bij.
Def.- La matriz opuesta a la matriz A=(aij) es aquella que se obtiene cambiando de signo
todos los elementos de la matriz A=(aij), y se escribe –A y es - A=(-aij)
 2 − 5 − 1
;
0
3 4


** A= 


 − 2 5 1


 − 3 − 4 0

- A= 


Def.- Dada una matriz A=(aij)mxn se define su matriz traspuesta que se escribe At como lamatriz At=(aji)nxm , es decir la matriz que se obtiene cambiando sus filas por sus columnas.
Nota.- Si A es de orden mxn su traspuesta At es de orden nxm.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

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Germán Jesús Rubio Luna

**

 2 − 5 − 1
;
A= 
3 4
0



Catedrático de Matemáticas

del IES Francico Ayala

 2 3


A =  − 5 4
 −1 0


t

Def.- La matriznula Omxn es la que tiene todos sus elementos nulos, es decir
0

0
Omxn= 
 ...

0


0 ... 0 

0 ... 0 
... ... ... 

0 ... 0  mxn


Def.- Dada la matriz cuadrada de orden n

 a 11 a 12

a
a
A=  21 22
 ...
...

a
a n2
 n1

... a 1n 

... a 2n 
,
... ... 

... a nn 


se llama diagonal principal

a los elementos de la forma aii(unir extremo superior izquierda con extremo inferior derecha). Se llama diagonal secundaria a los elementos de la forma aij con i+j=n+1 (unir extremo superior derecha con extremo inferior izquierda).
Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es triangular superior sii todos los
elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros.
1 2 3 


**  0 2 1  es triangularsuperior de orden 3.
0 0 − 2



Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es triangular inferior sii todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.
 1


0 

0  es triangular inferior de orden 3.
3 − 2


0

**  − 6 2
 1


Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es diagonal sii todos los elementos
que no están en la...