Matrices Y Determinantes 2015

Matrices y Determinantes

Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
2ª columna

 a11 a12 a13 ...... a1n 

3ª fila


 a21 a22 a23 ...... a2n 
 a31 a32 a33 ...... a3n  = (aij )
 .. .. .... .. 


 am1 am2 am3 ...... amn 
Dimensión de la matriz

m n

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

 a11

a21
A = (ai,j)=  a31


a
 n1

a12

a13



a22

a23



a32


a33





an 2

an 3 

a1n 

a2 n 
a3n 



ann 

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento dela fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.



2

1

1



1

1

1

1

1

0

Estos datos sepueden
agrupar en una matriz














Expresión matricial: ejemplo

 2 x  5 y  3 z 1
 x - 4y  z  2

El sistema 



2 5 –3 
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = 
1 
 1 –4





2
5
–3
1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* = 
1 –2 
 1 –4




Tiene la siguiente expresión matricial:








 x 


2 5 –3  
  1
y = 

 – 2
1 –4 1 
 z 







Clasificación de matrices: Forma


Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
 2





Matriz columna: A =  4 
 6

 1 3 5 





Matriz cuadrada:A=  2 4 6 
 1 1 1 
Diagonal
secundaria

Diagonal
principal

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada
que verifica que:

aij  a ji
1 2 4

2 3 5
4 5 -1


 A = AT







• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada queverifica que:

aij  -a ji  A = –
T
0 2 -4  A


-2 0 3 
4 -3 0 



Clasificación de matrices: Elementos
• Matriz nula: es una matriz en la que todos
los elementos son nulos.
 0 0 0


O  0 0 0 
 0 0 0


3 3

0

O  0
0


0

0
0 

3 2

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes
a la diagonal principal son nulos.
 2 00


D  0  3 0 
 0 0 1



• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son
iguales.
 2 0 0


A  0 2 0 
 0 0 2



• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
1 0 0


I 3  0 1 0 
 0 0 1



• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
 1 36


T  0  2 3 
 0 0 4



• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
1 0 0


T  3  2 0 
 3 5 4



Operaciones con matrices

Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Propiedades simplificativas
Matrices inversibles

Operaciones con matricesI
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A.
Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta...