Matrices y determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES

Introducción

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX
por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices seencuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
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Cada uno de los números de que consta la matriz se denominaelemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filasy n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.
[pic]Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna
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Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
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Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
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Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.
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Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
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Matriz triangular inferior

En unamatriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
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Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
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Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principalson iguales.
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Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
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Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
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(At)t = A(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, esinvolutiva si:
A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.

Suma de...