Matrices y determinantes

Cap´ ıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES
6.1. Introducci´n o

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de ´ datos, as´ como su manejo. ı Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´sicamente en el siglo XIX a por matem´ticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´s William Hamilton. a e Lasmatrices se encuentran en aquellos ´mbitos en los que se trabaja con datos regularmente a ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´micas y Biol´gicas. o o

6.2.

Matrices. Definici´n y primeros ejemplos o
n´meros reales dispuestos en filas y columnas del modo: u   . . . a1n ←  . . . a2n  ←  .  ← Filas de la matriz A .. .   . .   . . . amn ←

Unamatriz es una tabla rectangular de  a11 a12 a13  a21 a22 a23  A= . . . . .  . . . . am1 am2 am3

Columnas de la matriz A

ındices. El Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. a a ı As´ el elemento a23 est´ en la fila 2 y columna 3. Las matricessiempre se representar´n con letras may´sculas. u Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:   3 1 0 √  2 −4 0  2 1 6 −4 0 √  C = A= B= −1 1 2 1 2 1 3 4 5 1 0 0 A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜o es 2 x 2.¿Qu´ elemento es a21 ?. n e B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜o es 2 x 3.¿Qu´ elemento es b23?. n e C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que sutama˜o es 4 x 3.¿Qu´ elemento es c42 ?. n e En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜o o dimensi´n es m n o x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nö de filas y en segundo lugar el de columnas.

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6.3.

Tipos de matrices
Por ejemplo, A= es una matriz nula de tama˜o 2x5. n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1. Sellama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

2. Se llama matriz fila a la que s´lo tiene una fila, es decir su dimensi´n es 1x n. o o Por ejemplo, 1 0 −4 9 es una matriz fila de tama˜o 1 x 4. n 3. Se llama matriz columna a la que s´lo consta de una columna, es decir su dimensi´n ser´ m x o o a 1, como por ejemplo:   1 0 C= √  − 8 es una matriz columna de tama˜o 3 x 1. n 4. Unamatriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´mero de filas que de columnas, es decir su u n dimensi´n es n x n. La matriz ( 2 1 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜o 2 x 2 o o 3 4 simplemente de orden 2. Otro ejemplo de matriz cuadrada es:  1 2 3 D= 6 5 4 −3 −4 0 

de orden 3. Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11 , a22 ,a33, . . . , ann , siendo la matriz:   a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n    A= . . . .  .. . . .   . . . . . . an1 an2 an3 . . . ann En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ formada por 1, 5, 0. ıa Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 + a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0= 6. La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1 . En la matriz D estar´ formada por 3, 5, -3. ıa Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima dedicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices:     1 0 0 0 1 4 1 3 0 −4 0  0  F = 0 9 −5 E= 3 4 5 0  0 0 π 1 3 16 −78 Triangular superior
Triangular inferior

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Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´lo tiene elementos en la diagonal principal. o Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. Un ejemplo de...