Matrices y determinantes

MATRICES ESPECIALES

El estudio de las matrices especiales se limita a las más comúnmente usadas, para conocimiento del lector y para sus posibles aplicaciones futuras.

1.4.1 Matriz Identidad (I)

Es una matriz cuadrada (tiene el mismo número de filas y columnas) que tiene su diagonal principal formada de unos (1) y ceros (0) en las demás posiciones. Son ejemplos de matriz identidad lassiguientes:

; ; ; …
La matriz identidad cumple con: Sea A una matriz cuadrada, entonces A = A .

1.4.2 Matriz Nula

Es una matriz cuyos elementos son ceros.
; ; ; ; …

1.4.3 Matriz Traspuesta

Sea A una matriz cualquiera (cuadrada o no), se llama traspuesta de A y se denota At, a la matriz cuyas filas de A son las columnas de Ato cuyas columnas de A son las filas de At.

Ejemplos:
1. Sea A = At =
2. Sea B = Bt =
3. Sea C = Ct =
4. Sea D = Dt =

1.4.4 Matriz Fila

Es la matriz que posee una sola fila.

Ejemplos:
1. A =
2. B =
3. C =

1.4.5 Matriz Columna

Es la matriz que posee una sola columna.
Ejemplos:
1. A =
2. B =
3. C =

1.4.6Matriz Inversa

Es una matriz que tiene propiedades similares a las del inverso de un número. Es decir, el inverso de 2 es o 2-1.

La inversa de una matriz A se denota A-1 y cumple con la propiedad: A-1.A = A. A-1 = I.
Para obtener la inversa de una matriz A, pueden efectuarse operaciones con sus filas (horizontales o verticales), teniendo en cuenta que: A = A.I.
Estas operaciones con lasfilas de A, son seleccionadas en forma arbitraria (pero con lógica) para convertir la matriz A en una matriz identidad.

Todas las matrices no tienen inversa. Solamente para una matriz cuadrada puede definirse la inversa. Una matriz que no tiene inversa se denomina matriz singular, una matriz A es singular si al efectuar operaciones con sus filas llegamos a una fila nula (todos sus elementosson ceros).

Si para una matriz existe una inversa, ésta es única.

Ejemplos:

Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:
a. A = , entonces para encontrar la inversa de A (A-1), se intenta
resolver la ecuación matricial A = A.I, para convertir la matriz A en una
matriz identidad. Pero en la ecuación A = A.I, vemos que A aparece a
ambos lados de la igualdad, por talmotivo se omitirá el miembro izquierdo de la misma para evitar operaciones dobles, por lo que nos limitaremos solamente al miembro derecho: A.I.

Es de anotar que la matriz I que multiplica a A debe ser del mismo orden de A.
Entonces: A.I =
Ahora, aplicando operaciones elementales con las filas, se intenta cambiar el producto A.I en la forma I.A-1, como sigue:Como ya se convirtió a A en una matriz identidad, la matriz A es invertible y su inversa es:

A-1 = , es decir, se cambió A.I por I.A-1.

b. Sea B = ; B-1 = ?

Entonces:







Entonces B-1 =

c. Demuestre que la siguiente matriz no tiene inversa.

A =

Solución:A.I =



Observe que al sumar el segundo y tercer renglón, se obtiene un renglón de ceros en el lado izquierdo del producto A.I. Debido a esto, se concluye que no es posible reescribir A.I en la forma I.A-1. Esto significa que A no tiene inversa, es decir, es una matriz SINGULAR.

Las inversas anteriormente calculadas, se pueden comprobar por medio de lapropiedad: A.A-1 = I.

d. Hallar si es posible, la inversa de la traspuesta de A =
Solución: At =
Entonces: At.I =




; entonces: (At)-1 =

1.5 DETERMINANTES

A toda matriz cuadrada le corresponde un valor numérico como resultado de unas operaciones realizadas con sus diagonales, así:

Sumatoria de los productos de las diagonales principales menos sumatoria...