Matrices y determinantes

MATRICES
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2,
..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila ( i ) y elsegundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento
a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Tipos de matrices:
Matriz fila:

Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto
es de orden 1 x n.

a11

a12 a13  a1n 

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.

 a11 
 
 a21 
a 
 31 
  a 
 m1 

Matriz cuadrada:

Es aquella que tiene el mismo número de filas que de
columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es
de orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la
matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

 a11 a12

 a21 a22
a
a32
31

 a
 n1 an 2

a13  a1n 

a23  a2 n 
a33  a3n 

  
an 3  ann 


Tipos de matrices:
Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa
por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A
es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que siA es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

2 1 
A  5 3 


1  1



2 5 1 
A 

1 3  1
t

Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además
es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

 

1) At

t

A

2) kA  kAt , k  R
t

3)
4)

 A  B t At  B t
 A.B t  B t . At

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

1

A  2
7


2
5
6

7

6
4


AT

1

 2
7


2
5
6

7

6  A
4


Matriz antisimétrica : Es una matriz cuadrada igual a la opuesta de su traspuesta ,si A = –At,
es decir, si aij = –aji " i, j.

Matriz nula: esaquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

es una matriz nula de orden 3

La matriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales

Matriz unidad oidentidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular:

Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

1

0
0

0


2

3

5

6

0

8

0

0

4

7
9

1


Triangular sup erior

0
0
0
0
 2


6
0
0
0
 1
 8
9
3
0
0


1
1
2
0
 1
 15
2
3
4
1


Triangular inferiorOperaciones con matrices
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij.
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo

Sin embargo,

no se pueden sumar....

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