Matrices y determinantes

TAREA 3. MATRICES Y DETERMINANTES

Presentada Por:
MARY LUZ GELVES

I- CONTESTAR CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

a) ¿Qué se debe tener en cuenta para sumar y multiplicar matrices?

SUMA DE MATRICES
La suma de matrices se realiza sumando de forma corriente los elementos homólogos de las matrices involucradas en la operación.
Recordemos que denominamos elementos homólogosaquellos números igualmente ubicados dentro de la matriz.
A+B = B+A : Propiedad conmutativa. Podemos alterar el orden de las matrices que participan en la suma, sin embargo el resultado no tendrá variaciones.
A+B+C = (A+C)+B : Propiedad asociativa. Es lo mismo sumar todas las matrices juntas, que al resultado de la suma de varias matrices sumarle otra matriz más.
A+0= A : La matriz nula es elementoneutro en la suma. Si tenemos una matriz nula (todos sus elementos son 0) la matriz no nula será el resultado de la suma de matrices.
A+(-A) = 0 : Existencia de elemento opuesto. Si a cualquier matriz se le suma su opuesto (-A), el resultado de la suma será nulo

MULTIPLICACION DE MATRICES
Para resolver una multiplicación entre vectores matriciales hay que multiplicar el primer elemento de lafila de la primer matriz por el primer elemento de la primer columna de la segunda matriz, y en forma similar, los restantes elementos, para luego sumar los productos obtenidos y llegar así a un resultado, el cual tendrá un orden determinado por él numero de fila y columna involucradas en la operación.
Para resolver una multiplicación de vectores matriciales hay que saber que solo se puedenmultiplicar filas por columnas, siendo posible solo este orden y no pudiendo ser filas por filas, columnas por columnas o columnas por filas. SOLO FILAS POR COLUMNAS.
Otra condición es que debe coincidir el número de columnas de la primera matriz con el número de columnas de la segunda
Ejemplo:
[pic]
a11= (-1.7)+(2.10)+(3.3) = 22
a12= (1.11)+(2.1)+(3.2) = -3
a13= (-1.8)+(2.-4)+(3.1) = -13
a21=(4.7)+(5.10)+(6.3) = 96
a22= (4.11)+(5.1)+(6.2) = 61
a23= (4.8)+(5.-4)+(6.1) = 20
La matriz obtenida tendrá tantas filas como el primer factor y tantas columnas como el segundo

b) Si A5x6 y B6x8, ¿de qué orden es la matriz C=A.B?

Es del orden C5x8

c) ¿Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, tanto AB como BA están definidas? Justificar.

• Para que A y B sean del mismotamaño y AB y BA estén definidas, A y B deben ser matrices cuadradas, puesto que si no lo son no se podría realizar la multiplicación entre matrices.

Ejemplo:

Aquí, A y B son de tamaño 3 x 3. En consecuencia, tanto AB como B están definidas y ambas tienen tamaño 3 x 3. Tenemos las igualdades siguientes:

d) ¿Cuáles son las propiedades de los determinantes?. Enunciar 4 y dar unejemplo de cada una.

DETERMINANTES
Consideremos [pic]  como una matriz cuadrada de orden   [pic]    [pic]  y   [pic]  una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas
[pic]
o de sus columnas
[pic]

Las propiedades más importantes de los determinantes son:

1. El determinante de una matrizcuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.
[pic]
Ejemplo:
[pic]

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número:

[pic]

[pic]
Ejemplo

3. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:
[pic]
Ejemplo:[pic]
4. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.
[pic]
II- EXPRESAR LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES...