Matrices y determinantes

Unidad 9.Determinantes

TEMA 9. DETERMINANTES.
1. Conceptos previos, permutaciones 2. Definición general de determinantes 3. Determinante de matrices de orden 2 y orden 3. 3.1. Determinante matrices cuadradas de orden 2 3.2. Determinante matrices cuadradas de orden 3 4. Determinante de algunas matrices especiales 5. Propiedades de los determinantes 6. Otros métodos de calcular losdeterminantes. Determinante de matriz de orden 4 6.1. Por adjuntos 6.2. Haciendo cero una fila o una columna 6.3. Determinante de Vandermonde 7. Cálculo de la matriz inversa. 8. Rango de una matriz

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Contexto con la P.A.U.
El cálculo de determinantes es muy importante, ya que se utilizará en el tema siguiente en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, problema quegeneralmente sale en una de las opciones del examen de P.A.U. Además de la importancia relativa a su utilización en los problemas del siguiente tema, también es frecuente que en los exámenes de selectividad haya cuestiones relacionadas directamente con esta unidad, tales como: • • • • Cálculo de determinantes aplicando propiedades. Cálculo de determinantes 4x4 Calculo de inversas Determinar siuna matriz inversible

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Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)

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1. Conceptos previos. Permutaciones
Antes de estudiar el determinante veamos primero lo que significa la permutación, que nos va a servir para luego definir el determinante. Definición: dado n elementos diferentes, permutaciones son las distintas posiblesordenaciones de estos elementos. El conjunto de todas la permutaciones se denota como Sn y el número total de permutaciones es de n!=n·(n-1)·(n-2)·…·1 Ejemplos: El conjunto de permutaciones de tres elementos, S3, vienen definidas por las siguientes 3!=6 permutaciones: σ123=id, σ132, σ231, σ213, σ312, σ321. Definición: el índice de una permutación es el mínimo número de modificaciones que debemosrealizar a sus elementos para llegar a la permutación identidad, donde todos los elementos están ordenados de menor a mayor (ejemplo σ123=id en S3). Se denota como i(σ) donde σ es la permutación Ejemplos: σ123 σ132 i(σ123)=0 i(σ132)=1 permutando el 3 y el 2 obtenemos la permutación identidad

σ312 i(σ312)=2 permutando el 3 y el 2, y luego el 2 y el 1 obtenemos la permutación identidad

2.Definición general de determinante
Definición: Sea A=aij una matriz cuadrada de orden n (A∈Mnxn(R)) definimos como determinante de A y se denota como |A| o det(A) al siguiente número real:

det( A) =| A |= ... ... ... = ∑ (−1) i (σ ) a1σ (1) ...a nσ ( n ) (la suma tiene n! términos) σ ∈S n a n1 ... a nn

a11 ... a1n

3. Determinante de Matrices de orden 2 y 3
En este apartado vamos a ver apartir de la definición del apartado anterior el valor del determinante de las matrices 2x2 y 3x3 3.1 Determinante de matrices cuadras de orden 2. Sea la matriz A∈M2x2 definida de forma genérica como A =  11  a  21 determinante a partir de la definición:
a a12   , calculemos el a 22  

det( A) =| A |=

a11 a 21

a12 a 22

=

∑ (−1) σ
∈S 2

i (σ )

a1σ (1) ·a 2σ ( 2 ) = ( −1) i(σ 12 ) a11 ·a 22 + ( −1) i (σ 21 ) a12 ·a 21 = a11 ·a 22 − a12 ·a 21

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Ejemplos: 3 1    A=   9 − 1 1 2 B= 3 4    | A |= 3 1 9 −1 = 3·(−1) − (1·9) = −12

| B |=

1 2 = 1·4 − (3·2) = −2 3 4

3.2. Determinante de matrices cuadradas de orden 3. De la misma forma que en el apartado anterior veamos como calcular el determinante de las matricescuadradas de orden 3. En este caso el número de sumas será 3!=6. Veremos una regla nemotécnica, regla de Sarros, para recordar como calcularlo.

 a11 a12 a13    Sea A∈M3x3(R) definido de forma genérica como A =  a 21 a 22 a 23  . Antes de a   31 a32 a33  aplicar la definición de determinante veamos las permutaciones y sus índices:
σ123 σ132 σ231 σ213 σ312 σ321 i(σ123)=0 par i(σ132)=1...