Matrices y determinantes
Páginas: 22 (5366 palabras)
Publicado: 17 de febrero de 2012
MATRICES Y DETERMINANTES
Año escolar: 5to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Í N D I C E
Matrices. Algunos tipos de matrices. Suma y resta (Adición) de matrices. Multiplicación de matrices. División de matrices Ejercicios resueltos con matrices.Determinante de una matriz. Determinante de orden 2. Determinante de orden 3 Matriz Adjunta. Matriz Inversa. Determinante de orden 4. 1 1 4 6 10 10 13 13 14 16 19 24
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :
M A T R I C E S Y DETERMINANTES
M A T R i C E S
Se denomina matriz a todoconjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando “m” filas y “n” columnas. Ejemplo :
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales Ejemplo : A3x3 =
A2x2 = Donde:
B2x4 =
C3x2 =
primera columna segundacolumna tercera columna
2x2 indica que la matriz “A” tiene 2 filas y 2 columnas. 2x4 indica que la matriz “B” tiene 2 filas y 4 columnas. 3x2 indica que la matriz “C” tiene 3 filas y 2 columnas. Los números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letras minúsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras mayúsculas. Las matrices varían entamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificando el número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden “m x n” tiene “m” filas y “n” columnas (primero se indican las filas y después las columnas). Si “A” es una matriz de orden “m x n” entonces se denotará ij para indicar el elementoque está en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Donde : a11 = -1 ; a12 = 5 ; a13 = 2 a21 = 4 ; a22 = 3 ; a23 = 6 a31 = 7 ; a32 = -2 ; a33 = 0
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes : MATRIZ FILA: orden 1x n. Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su
“a ”
MATRIZ COLUMNA: Aquellamatriz que tiene una sola columna, siendo su orden m x 1.
M A T R I C E S Y DETERMINANTES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
-1-
MATRIZ RECTANGULAR: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden “m x n”, donde m
MATRIZ CUADRADA: Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
MATRIZTRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22, ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
MATRIZ OPUESTA: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. Laopuesta de A es -A. Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal “ tr A”. MATRIZ SIMÉTRICA: traspuesta. Es una matriz cuadrada que es igual a su
MATRIZ NULA: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
A = At , aij = aji
M A T R I C E S Y DETERMINANTES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
-2-
MATRIZANTISIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal.
MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente -1 = AT cuadrada e invertible : A La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El...
Año escolar: 5to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Í N D I C E
Matrices. Algunos tipos de matrices. Suma y resta (Adición) de matrices. Multiplicación de matrices. División de matrices Ejercicios resueltos con matrices.Determinante de una matriz. Determinante de orden 2. Determinante de orden 3 Matriz Adjunta. Matriz Inversa. Determinante de orden 4. 1 1 4 6 10 10 13 13 14 16 19 24
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :
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M A T R i C E S
Se denomina matriz a todoconjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando “m” filas y “n” columnas. Ejemplo :
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales Ejemplo : A3x3 =
A2x2 = Donde:
B2x4 =
C3x2 =
primera columna segundacolumna tercera columna
2x2 indica que la matriz “A” tiene 2 filas y 2 columnas. 2x4 indica que la matriz “B” tiene 2 filas y 4 columnas. 3x2 indica que la matriz “C” tiene 3 filas y 2 columnas. Los números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letras minúsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras mayúsculas. Las matrices varían entamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificando el número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden “m x n” tiene “m” filas y “n” columnas (primero se indican las filas y después las columnas). Si “A” es una matriz de orden “m x n” entonces se denotará ij para indicar el elementoque está en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Donde : a11 = -1 ; a12 = 5 ; a13 = 2 a21 = 4 ; a22 = 3 ; a23 = 6 a31 = 7 ; a32 = -2 ; a33 = 0
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes : MATRIZ FILA: orden 1x n. Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su
“a ”
MATRIZ COLUMNA: Aquellamatriz que tiene una sola columna, siendo su orden m x 1.
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Ing. José Luis Albornoz Salazar
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MATRIZ RECTANGULAR: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden “m x n”, donde m
MATRIZ CUADRADA: Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
MATRIZTRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22, ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
MATRIZ OPUESTA: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. Laopuesta de A es -A. Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal “ tr A”. MATRIZ SIMÉTRICA: traspuesta. Es una matriz cuadrada que es igual a su
MATRIZ NULA: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
A = At , aij = aji
M A T R I C E S Y DETERMINANTES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
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MATRIZANTISIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal.
MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente -1 = AT cuadrada e invertible : A La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El...
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