Matrices y determinantes

ANALISÍS NUMÉRICO
Sistemas de Ecuaciones Lineales

MATRICES Y DETERMINANTES
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición delelemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden
n. 1x

a11

a12 a13  a1n 

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, esdecir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.
 a11     a21  a   31     a   m1 
Dr. 3



MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz cuadrada:
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principalde la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

 a11 a12   a21 a22 a a32 31    a  n1 an 2
11/06/2012

a13 a23 a33  an 3

    
Dr.

a1n   a2 n  a3n    ann  
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MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se
obtienecambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A t , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir,

si aij = aji " i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, esdecir, si aij = –aji " i, j.
11/06/2012 Análisis Numérico Antonio Cárdenas Dr. 5

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

es una matriz nula de orden 3

La matriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

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MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, enla que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

11/06/2012

Análisis Numérico Antonio Cárdenas

Dr.

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MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
MatrizTriangular:
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal sontodos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior
8 Análisis Numérico Dr. Antonio Cárdenas

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MATRICES Y DETERMINANTES
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas Producto de matrices
9 Análisis Numérico

Matricesinversibles

Dr. Antonio Cárdenas

11/06/2012

MATRICES Y DETERMINANTES
Operaciones con matrices Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A,...