Matrices y Determinantes

HISTORIA DE LAS MATRICES
El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en laliteratura china hacia el 650 a. C.2
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene delaño 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.3 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán GottfriedLeibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopediade la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).2
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Fue James JosephSylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850.
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos quetrabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómenode aeroelasticidad llamado fluttering.
Definición
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Las matrices se denotan generalmente conmayúsculas (M). Cada elemento de una matriz se denota por mij, donde i corresponde a la hilera y j corresponde a la columna. En el ejemplo anterior, el elemento (2,2)= 8, el elemento (1,1) es 1, el elemento (1,2) es 4. Un vector es una matriz con una sola columna:

 
Una matriz que tiene una sola hilera se llama matriz hilera:

 Una matriz constituida por un solo elemento se llama escalar:

Unamatriz tiene dimensión mXn, es decir el número de hileras y columnas. Por ejemplo, la dimensión de M es 2X2, la dimensión de V es 3X1, la dimensión de H es 1X3 y la dimension de A es 1X1.
La matriz identidad es es una matriz de dimensión mXn con 1s en la diagonal principal y ceros en los otros elementos. Por ejemplo, la matriz identidad de M es:

La matriz identidad se define únicamente paramatrices cuadradas. Es decir, matrices con el mismo número de columnas e hileras.
 








OPERACIONES CON MATRICES
Suma Algebraica
Para sumar dos matrices M, N, es necesario que sus dimensiones sean iguales. El resultado de la suma es otra matriz con las mismas dimensiones y cuyos elementos Xij corresponden a Mij + Nij. Por ejemplo:

 
Traspuesta
La traspuesta de...