Matrices y determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas)

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Porejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos situados en el mismo lugar coinciden.
TIPOS DE MATRICES
Según el orden:
Matriz rectangular: si el número de filas y el de columnas no coincide, es decir, m≠n.
Ejemplo: A=1-126255 es una matriz rectangular de orden 3x2
Matriz cuadrada de orden n: si el numero defilas y el de columnas coincide, es decir, m=n. Si A=aij es una matriz cuadrada de orden n, los elementos a11, a22, …, ann forman la diagonal principal de A.
Ejemplo A=305-7 es una matriz cuadrada de orden 2 y su diagonal principal esta formada por los elementos 3 y -7.
Matriz fila: si solo tiene una fila, es decir, m=1.
Ejemplo: A=143
Matriz columna: si solo tiene una columna, es decir, n=1.Ejemplo: A=02-4
SEGÚN SUS ELEMENTOS
Matriz nula: si todos los elementos son 0. Se representa por 0mxn o simplemente por 0.
Ejemplo: 02x3=000000
Matriz escalonada: si al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo mas que en la fila (columna) anterior.
Ejemplo: A=30504-1005 es una matriz escalonada por filas y A=300410-64-3 es una matriz escalonada por columnas.
Matriztriangular superior: se es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0.
Ejemplo A=4-1008300-2 es una matriz triangular superior.
Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.
Ejemplo: A=000320430 es una matriz triangular inferior.
Matriz diagonal:si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0.
Ejemplo: a=0000-50005 es una matriz diagonal.
Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden.
Ejemplo: A=300030003 es una matriz escalar.
Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementosde la diagonal principal son 1. La matriz identidad de orden n se representa por In.
Ejemplo: I3=100010001 es la matriz de identidad de orden 3.
DETERMINANTES
A cualquier matriz cuadrada A se le puede asociar un número real, que se denomina determinante de A. Este número se suele simbolizar A o det A y se calcula como se explica a continuación.
Determinante de orden 1: A=a11=a11
Ejemplo:3=3, -3=-3 (no confundir el determinante de orden uno con el valor absoluto o modulo de un numero real)
Determinante de orden 2: A=a11a12a21a22= a11a22-a12a21
Ejemplo 2: 4 -15 8 = 4.8 – (-1)5 =32 + 5 = 37
Determinante de orden 3 (Regla de Sarrus):
A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 = a11a22 a23 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32Ejemplo 3: 1 2 30 -5 64 -1 -2= 1 (-5) (-2) + 2.6.4 + 3.0(-1) – 3(-5)4 – 2.0(-2) – 1.6(-1) = 10 + 48 +0 +60 – 0 + 6 = 124
Determinante de orden n:
Como resultados previos para este cálculo es necesario conocer los conceptos de menor complementario y de adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A.
Menor complementario del elemento aij de una matriz A es el determinante de lamatriz que se obtiene al quitar la fila i y la columna j de la matriz A.
Adjunto del elemento a de una matriz A es el producto de (-1)i+j por el menor complementario del elemento aij. Se simboliza Aij.
Ejemplo 4: Dada la matriz A = -2 0 1 0 -1 3 2 2 -2
a) El menor complementario del elemento a23 de A es, -2 0 2 2 = (-2).2 – 0.2 = -4, este determinante es...