Matrices y determinantes
Páginas: 8 (1938 palabras)
Publicado: 21 de septiembre de 2010
MATRICES Y DETERMINANTES
MAPLICACIONES LINEALES Y MATRICES
Una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales que es además lineal.
Recordamos que una aplicación (en inglés map) es una regla que permite asociar a cada elemento del primer espacio un elemento del segundo.
En nuestro tema E y F son espacios vectoriales y E → F es una función o aplicación lineal L.
*Enteoría de conjuntos se suele reservar el nombre de función para aplicaciones numéricas*
La aplicación L es lineal si cumple las siguientes propiedades:
Que se pueden escribir juntas como la ley de combinaciones lineales:
Ejemplo 1. Aplicaciones entre espacios de una dimensión
R: conjunto de los números reales
El ejemplo de aplicación lineal en se resume en la función lineal (rectas).La cantidad es libre. La aplicación lineal se resume anotando la constante (que es una matriz ),
Ejemplo 2. Aplicación en dos dimensiones. E=F=
En R2
Los espacios están referidos a sus bases (no son la misma en principio).
Sea un vector arbitrario, se tiene que
Luego por linealidad:
Puede elegirse libremente en F (2)
puede elegirse libremente en F (3)
Sustituyendo (2) y (3)en (1), y agrupando queda:
Donde (4):
Las aplicaciones lineales de a pueden codificarse en forma de matriz.
La cual permite expresar las coordenadas de L(u) en función de las coordenadas de u.
En lenguaje abreviado escribo la fórmula matricial de cálculo de coordenadas.
*Las columnas de A tienen su propio sentido: son las coordenadas de las imágenes de cada uno de los vectores debase, L(ei)*
Matriz de una aplicación lineal
En vista de esta lección podemos definir una aplicación lineal como una operación que toma un vector en coordenadas y lo pre multiplica por una matriz para hallar las coordenadas de la imagen.
Esta matriz operativa se llama la matriz de la aplicación lineal.
Se tiene una aplicación lineal L de E en F, espacios a los que nos referimos por susbases.
Las imágenes de e1 y e2 vienen dadas por las expresiones:
lo que equivale a
Tenemos un vector u cualquiera expresado en la base del espacio E.
Sustituyendo tenemos:
Caso general
Se tiene un vector u cualquiera en un espacio .
El sistema {} constituye una base del espacio y son las coordenadas del vector u respecto de esa base.
Si L es una aplicación lineal , donde , tenemos:Existen aplicaciones lineales entre espacios de dimensiones distintas, por lo que m no coincide necesariamente con n, y existe una matriz A de la aplicación lineal L.
En resumen,
Donde B1 y B2 son las bases de E y F respectivamente.
Las columnas de la matriz de aplicación lineal A son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base del espacio E.
El número de columnas de lamatriz A coincide con la dimensión del primer espacio, y el número de filas con la dimensión del segundo.
Las aplicaciones lineales entre espacios de dimensión distinta utilizan matrices no cuadradas.
OPERACIONES CON MATRICES Y SUS PROPIEDADES
Suma de matrices
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C= A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
Es una ley de composición interna con las siguientes
Propiedades:
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
Conmutativa : A+B = B+A
Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A
Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y comohemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
*La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas.*
Producto de un número real por una matriz
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
Es una ley de composición...
MAPLICACIONES LINEALES Y MATRICES
Una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales que es además lineal.
Recordamos que una aplicación (en inglés map) es una regla que permite asociar a cada elemento del primer espacio un elemento del segundo.
En nuestro tema E y F son espacios vectoriales y E → F es una función o aplicación lineal L.
*Enteoría de conjuntos se suele reservar el nombre de función para aplicaciones numéricas*
La aplicación L es lineal si cumple las siguientes propiedades:
Que se pueden escribir juntas como la ley de combinaciones lineales:
Ejemplo 1. Aplicaciones entre espacios de una dimensión
R: conjunto de los números reales
El ejemplo de aplicación lineal en se resume en la función lineal (rectas).La cantidad es libre. La aplicación lineal se resume anotando la constante (que es una matriz ),
Ejemplo 2. Aplicación en dos dimensiones. E=F=
En R2
Los espacios están referidos a sus bases (no son la misma en principio).
Sea un vector arbitrario, se tiene que
Luego por linealidad:
Puede elegirse libremente en F (2)
puede elegirse libremente en F (3)
Sustituyendo (2) y (3)en (1), y agrupando queda:
Donde (4):
Las aplicaciones lineales de a pueden codificarse en forma de matriz.
La cual permite expresar las coordenadas de L(u) en función de las coordenadas de u.
En lenguaje abreviado escribo la fórmula matricial de cálculo de coordenadas.
*Las columnas de A tienen su propio sentido: son las coordenadas de las imágenes de cada uno de los vectores debase, L(ei)*
Matriz de una aplicación lineal
En vista de esta lección podemos definir una aplicación lineal como una operación que toma un vector en coordenadas y lo pre multiplica por una matriz para hallar las coordenadas de la imagen.
Esta matriz operativa se llama la matriz de la aplicación lineal.
Se tiene una aplicación lineal L de E en F, espacios a los que nos referimos por susbases.
Las imágenes de e1 y e2 vienen dadas por las expresiones:
lo que equivale a
Tenemos un vector u cualquiera expresado en la base del espacio E.
Sustituyendo tenemos:
Caso general
Se tiene un vector u cualquiera en un espacio .
El sistema {} constituye una base del espacio y son las coordenadas del vector u respecto de esa base.
Si L es una aplicación lineal , donde , tenemos:Existen aplicaciones lineales entre espacios de dimensiones distintas, por lo que m no coincide necesariamente con n, y existe una matriz A de la aplicación lineal L.
En resumen,
Donde B1 y B2 son las bases de E y F respectivamente.
Las columnas de la matriz de aplicación lineal A son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base del espacio E.
El número de columnas de lamatriz A coincide con la dimensión del primer espacio, y el número de filas con la dimensión del segundo.
Las aplicaciones lineales entre espacios de dimensión distinta utilizan matrices no cuadradas.
OPERACIONES CON MATRICES Y SUS PROPIEDADES
Suma de matrices
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C= A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
Es una ley de composición interna con las siguientes
Propiedades:
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
Conmutativa : A+B = B+A
Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A
Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y comohemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
*La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas.*
Producto de un número real por una matriz
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
Es una ley de composición...
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