Matrices Y Determinantes

Instituto Tecnologico de Tuxtepec.

Ingenieria Bioquimica

Segundo Semestre

Algebra Lineal

Matrices y determinantes

Profesor. Alfonso Sanchez Solis


ÍNDICE

Matrices y Determinantes
2.1 Definición de matriz, notación y orden
2.2 Operaciones con matrices
2.3 Clasificación de las matrices
2.4 Transformaciones elementales por renglón.Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz
2.7 Propiedades de las determinantes
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes

FUNDAMENTO

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrolloinicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidadpara el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, basesde datos,...

2.1 Definición de matriz, notación y orden.
Se llama matriz a un conjunto de elementos de cualquier naturaleza, aunque, en general suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden “m x n” a un conjunto rectangular de elementos dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n númerosnaturales.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales, además también aparecen en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

NOTACIÓN

Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidas en sus filas y columnasrespectivas, se encierran en corchetes o en paréntesis.

ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz el es numero de filas y de columnas ue tiene esa matriz.
Si el numero de filas de una matriz A es “m” y el de columnas es “n” se suele anotar Aᴹₓᴺ , leyendose como “matriz a de orden m x n”.

2.2 Operaciones con matrices.
Suma y resta de matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstasdeben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restarmatrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de dos matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.


Productode un escalar por una matriz
Dada una matriz A = (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)


2.3 Clasificación de las matrices

Triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son...