Matrices Y Determinantes

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Matrices y determinantes.

Una matriz A de [pic] es un arreglo rectangular de mn elementos (componentes) dispuestos en m renglones (filas o hileras) y n columnas
[pic]

Orden (tamaño) de una matriz.
Una matriz que tiene m renglones y n columnas se dice que es una matriz [pic] (“m por n”) o bien una matriz de orden [pic]. Siempre se indica en primer lugar el número de renglones ydespués el número de columnas. En algunos textos se indica el orden escribiéndolo entre paréntesis, esto es, (m, n) significa lo mismo que un orden [pic].

Matrices cuadradas y rectangulares.
Si A es una matriz [pic] con m = n, entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz cuadrada con n renglones y n columnas se dice que tiene orden n y se llama una n-matriz cuadrada.
Si A es una matriz [pic] con[pic], entonces A se llama matriz rectangular.

Componente o elemento ij de A.
La componente o elemento ij de A se denota por aij y es aquel que aparece en el renglón i y en la columna j de A.

Notación general.
Las matrices generalmente se designan por letras mayúsculas A, B, ..., y los elementos por la letra minúscula correspondiente a, b, ... .
La matriz A se denota también a veces por[pic] o {aij} o [aij].
Una matriz A de orden [pic], se puede indicar como
[pic] o [pic]
Así por ejemplo, una matriz A de orden [pic], se puede encontrar escrita en notación abreviada como
[pic] o [pic] o [pic] etc.

Matriz cero.
Una matriz [pic] con todos los elementos iguales a cero se llama matriz cero de [pic].




Igualdad de matrices.
Dos matrices [pic] y [pic] soniguales si son del mismo tamaño y además las componentes correspondientes son iguales.


Vector renglón y vector columna.
Un vector renglón de n componentes es un conjunto ordenado de n componentes escritos de la siguiente manera:
(a1, a2, . . . , an)
esto es, un vector renglón de n componentes es una matriz de [pic].

Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de ncomponentes escritos de la siguiente manera:
[pic],
esto es, un vector columna de n componentes es una matriz de [pic].

Nota: La palabra “ordenado” en la definición de un vector es esencial. Dos vectores del mismo tamaño con las mismas componentes escritas en diferente orden no son iguales.

Nota: Para simplificar, puede encontrarse que se hace referencia a un vector renglón de n componentescomo un vector renglón o un n-vector. De la misma manera puede encontrarse el término vector columna (o n-vector) para denotar a un vector columna de n componentes.

Suma de matrices.
Sean [pic] y [pic] dos matrices [pic]. Entonces la suma de A y B es la matriz [pic], [pic] dada por :
[pic][pic]
Es decir [pic] es la matriz [pic] que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A yB.
Nota: La suma de dos matrices está definida sólo cuando las matrices son del mismo tamaño.

Multiplicación de una matriz por un escalar.
Si [pic] es una matriz de [pic] y si [pic] es un escalar, entonces la matriz [pic], [pic], está dada por
[pic].
Es decir, [pic]es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por[pic].
Si [pic], entonces [pic] para i = 1, 2, . . . , m yj = 1, 2, . . . , n.

Diferencia de matrices.
Sean A y B dos matrices [pic]. Escribimos [pic] como [pic] y lo llamamos la diferencia de A y B.

Teorema:
Sean A, B, y C tres matrices de [pic] y sean [pic] y [pic] dos escalares. Entonces:
i. A + 0 = A
ii. 0A = 0
iii. A + B = B + A (ley conmutativa para la suma de matrices)
iv. [pic] (ley asociativa para la suma dematrices)
v. [pic] (ley distributiva para la multiplicación
por un escalar)
vi. 1A = A
vii. [pic]

Nota: El cero en la parte i) del teorema es la matriz cero de orden [pic]. En la parte ii) el cero a la izquierda es un escalar mientras que el cero a la derecha es la matriz cero de [pic].
Nota: De acuerdo a la ley asociativa para la suma de matrices la...