Matrices Y Determinates De Algebra Lineal

Matrices y
Determinantes
Prof. Nilsa I. Toro
Catedrática
Recinto Universitario de Mayagüez
Residencial - AFAMaC

Origen y Usos
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año
1850, introducidas por J.J. Sylvester.
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático
W.R. Hamilton en 1853.
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como
una forma abreviada de escribirun sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Luego Olga Taussky-Todd fue una de las precursoras
en el desarrollo de aplicaciones de la teoría de matrices.
Se le describe como “amante de todo lo que pueden
hacer las matrices”.

La teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy
aplicaciones en campos diversos como el control de
inventarios en las fábricas; teoría cuántica, enfísica;
análisis de costos en transportes y de otras industrias;
problemas de estrategias en las operaciones militares y
análisis de datos, en psicología y sociología.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las
ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas deecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma
natural en geometría, estadística, economía,
informática, etc...

La utilización de matrices constituye actualmente una
parte esencial de los lenguajes de programación, ya
que la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y
columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

Definición
Se llamamatriz de orden "m × n" a un conjunto
rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas
y en n columnas. El orden de una matriz también se
denomina dimensión o tamaño, siendo m y n
números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B,
C, ... y los elementos de las mismas con letras
minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado:
a, b, c, ... Un elemento genérico queocupe la fila i y la
columna j se escribe aij . Si el elemento genérico
aparece entre paréntesis también representa a toda la
matriz : A = ( a ij ).

 a11

 a21
A=


 am1

a1n 

a22 …



amn 
a12 …

El número total de elementos de una matriz A de
dimensión m×n es m·n

Ejemplo
Determinar la dimensión de cada matriz:
1 3
1. A = 

4 2


 −4 0 1 2. B = 

3 −1 2 


1 3 


3. C =  5 0 
 2 −1



 2 6 −2 


4. D =  3 −1 4 
1 6 5 



Igualdad de Matrices
i.
ii.

Dos matrices A = ( aij ) y B = ( bij ) son iguales si:
Tienen el mismo tamaño.
Sus elementos correspondientes son iguales.
Esto es, aij = bij , para toda i y para toda j

Ejemplo
Determinar si los siguientes pares de matrices
soniguales.
4
1. 
 .5

2

2
1

1 2


2.  3 4  ,
5 6



e
,
1 − 1
0

2

1
2

1 3 5


2 4 6


4 1

2
0

2

Algunos tipos de matrices
Una matriz fila de dimensión n ( a1
es una matriz de tamaño 1xn .
Una matriz columna de dimensión n
es una matriz de tamaño nx1 .

a2 … an )

 a1 

 a2 


 an 

Estostambién son llamados vector fila y vector
columna respectivamente.

Una matriz que tiene distinto número de filas que
de columnas, siendo su orden m×n es llamada una
matriz rectangular.
Una matriz que tiene igual número de filas que de
columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de
orden n, es llamada una matriz cuadrada.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , … , ann

Lamatriz triangular si todos los elementos
encima o debajo de la diagonal son ceros.
La matriz opuesta de una dada es la que resulta
de sustituir cada elemento por su opuesto. La
opuesta de A es -A.
Si todos sus elementos son cero. Se denomina
matriz cero ó matriz nula y se denota por 0mxn .

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la
matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las...