Matrices y vectores

Matrices, vectores
y sistemas
de ecuaciones
lineales
Antonio Montes Lozano
1,5 créditos
P00/75004/00191
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a11 a21 … a1n
a21 a22 … a2n
⎝am1 am2 … amn⎠
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© FUOC • P00/75004/00191 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Índice
Introducción............................................................................................... 5
Objetivos...................................................................................................... 6
1. Preliminares.......................................................................................... 7
2. Matrices .................................................................................................. 8
2.1. Producto de matrices......................................................................... 9
2.2. Suma de matrices............................................................................... 10
2.3. Matrices cuadradas ............................................................................ 12
2.4. La transpuesta de una matriz ............................................................ 14
3. Espacios vectoriales............................................................................. 16
3.1. Dependencia e independencia lineal ................................................ 17
3.2. Bases ................................................................................................... 19
3.3. Subespacios vectoriales y rango......................................................... 24
4. El método deGauss.............................................................................. 26
5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius .......................................... 34
6. Sistemas homogéneos.......................................................................... 38
7. Determinantes y regla de Cramer.................................................... 41
7.1. Determinantes de segundo orden..................................................... 41
7.2. Determinantes de tercer orden .......................................................... 43
7.3. Determinantes de orden n................................................................. 44
7.3.1. Propiedades de los determinantes.......................................... 45
7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n ................................ 49
8.Matriz inversa....................................................................................... 55
Resumen....................................................................................................... 59
Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 61Solucionario................................................................................................ 64
Glosario........................................................................................................ 76
Bibliografía................................................................................................. 77

© FUOC • P00/75004/00191 5 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Muchos problemas técnicos ycientíficos requieren la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales. Es un tema fundamental para todas las disciplinas que
utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe
una dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen
y a menudo la planteamos en forma de ecuación lineal. Otras veces representa
una buena aproximación al problema objeto deestudio.
En este módulo estudiaremos de forma sistemática los sistemas de ecuaciones
lineales. Pero para profundizar en su conocimiento, abordaremos previamente
el estudio de las matrices y los vectores como tablas de números. Este estudio
nos conducirá a introducir la estructura de espacio vectorial, que tiene valor
por sí misma y se aplica a muchos campos como, por ejemplo, los gráficos 3D....