matrices(álgebra lineal)

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde n,m ∈ N-{0}. El conjunto de las matrices de tamaño serepresenta como, Mnxn(k), donde K es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en elcampo del álgebra lineal.
Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.
Esta es una matriz de m y n columnas, es decir, de dimensión m x x. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.
Si el número defilas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.
Operaciones con matrices

Suma de matrices:

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.Propiedades de la suma de matrices
 Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
 Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
 Elemento neutro: A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
 Elemento opuesto: A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
 Conmutativa:A + B = B + A

Resta de matrices
A - B = =



Algo mas general se puede describir como:
A= , B=
A - B=
Multiplicación de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x pEl elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.




Propiedades:
 Asociativa:
A • (B • C) = (A • B) • C
 Elemento neutro: A • I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A • B ≠ B • A
 Distributiva del producto respecto de la suma: A • (B + C) = A • B + A • C
Clasificación de las matrices:
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

=Matrices cuadradas =
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es deorden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

=Matriz identidad=
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en loselementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en ladiagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.

=Matrices triangulares=
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices...