Matrices

NOTAS DEL MODULO I DE INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL

1. INTRODUCCIÓN AMATRICES
1.1 Definiciones y notación.
1.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar
1.3 Propiedades de la suma de matrices
1.4 Multiplicación de matrices
1.5 Propiedades de la multiplicación de matrices
1.6 Aplicaciones de las operaciones con matrices
OBJETIVO
El alumno aplicará los conceptos del álgebra dematrices a problemas reales a nivel secundaria y bachillerato en todas las áreas de la ciencia, a fin de adquirir técnicas de apoyo para su práctica docente.
Preguntas
a. Un ejemplo con escalar complejo. En que campo han trabajado las matrices?

Guía
Preguntas
1. Motivación
2. Repaso
3. Aplicación
3. Ejercicios
4. Cierre

Organización de datos

Una compañía fabrica dos productos X yY. Para cada producto, es necesario usar tres máquinas diferentes, A, B y C. En la fabricación de una unidad del producto X, hay que usar tres horas de la máquina A, una de la B, y una de la C. Para fabricar una unidad del producto Y se requieren dos horas en la máquina A, dos horas en la B y una en la C. La utilidad unitaria del producto X es $500 y del producto Y, $350. Podemos disponer de lamáquina A las 24 horas del día, pero sólo 16 de la B y 9 de la C. Supón que las máquinas están disponibles cuando se les necesita, indica la cantidad de productos que deben fabricarse cada dia a fin de maximizar las utilidades.

INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvestere(1814-1897). El desarrollo inicial de la teoría sedebe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley (1821-1895) introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudiode sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
[pic]
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo lacolumna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la formaMatriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1×n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ×1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n × n.
Los elementosaij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de...