Matrices

Matrices
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.[1] El uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso delmétodo de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[2] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos delsiglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[1]
Después del desarrollo de la teoría dedeterminantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Definición de Matriz:
Se puede definir a una matriz como un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Sellama matriz de orden  "m × n"   a un conjunto rectangular de elementos  aij  dispuestos en   m  filas y en  n  columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo  m  y  n  números naturales.
Se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genéricoque ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe: aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

Tipos de matrices
Según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes, algunos tipos son:
Matriz Fila: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n
Ejemplo:
Matriz Columna: Aquella matriz que tiene una solacolumna, siendo su orden  m×1
Ejemplo:

Rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,
Ejemplo:

Matriz Traspuesta: Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por  At  ó  AT

Ejemplo:

Matriz opuesta: La matriz opuesta de una dada es laque resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

Matriz Nula: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

Ejemplo:

Matriz cuadrada: Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal: son los elementos  a11 , a22 , ..., ann 
Diagonalsecundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Ejemplo:

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

Matriz Simetrica: Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At  , aij = aji  
Ejemplo:

Matriz Asimetrica: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At  , aij = -aji  
Necesariamente  aii = 0  
Ejemplo:

Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
Ejemplo:

Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales.
Ejemplo:

Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus...