Matrices

1. Matrices

Índice

Introducción.
Objetivos.
Matrices: Definiciones y dimensión.
a. Matriz.
b. Dimensión de una matriz.
c. Matriz cuadrada.
d. Diagonal principal de una matriz cuadrada.
e. Matriz simétrica.

Operaciones con matrices.
1. Suma de matrices.
2. Producto de un número por una matriz.
3. Producto de dos matrices.

IntroducciónLas matrices son una herramienta de trabajo fundamental. Por eso es necesario que las conozcamos y sepamos manejarlas, es decir, que sepamos operar con ellas.

En este módulo las vamos a utilizar a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales pues el rango de la matriz de los coeficientes del sistema nos dará el número de ecuaciones linealmente independientes que tenemos.

Tambiénvamos a necesitar las matrices cuando tengamos que optimizar una función real de varias variables pues tendremos que construir la matriz formada por las derivadas parciales de orden dos de la función que será una matriz simétrica. El estudio de esta matriz nos permitirá determinar si en el punto que estamos estudiando la función poseerá un máximo o un mínimo.

Sobre las matrices vamos aver lo estrictamente necesario. En este tema veremos las matrices como un conjunto de números escritos de forma ordenada en filas y columnas. En el tema tres interpretaremos las matrices como un conjunto de vectores escritos en filas o columnas pues en ese tema vamos a utilizar las matrices para estudiar la dependencia o independencia lineal de vectores lo cual nos será útil a la hora de determinarlas ecuaciones linealmente independientes que tiene un sistema de ecuaciones lineales.

Objetivos

En líneas generales podemos decir que el objetivo de este tema es conocer las matrices y saber operar con ellas.

Esto se cumplirá cuando alcances los siguientes objetivos más concretos:

1. Saber cuál es el orden de una matriz.
2. Saber cuándo una matriz es cuadrada.
3. Conocercuándo una matriz es simétrica.
4. Saber cuándo dos matrices se pueden sumar y saber calcular su suma en ese caso.
5. Saber multiplicar un número por una matriz.
6. Conocer cuándo es posible realizar el producto de dos matrices dadas.
7. Saber multiplicar matrices que sean compatibles para el producto.

Matrices: definición y dimensión

Matriz

Un conjunto de números escritos deforma ordenada en filas y en columnas diremos que forman una matriz.

Veamos algunos ejemplos:

[pic] , [pic] , [pic]

Dimensión de una matriz

Se llama orden o dimensión de una matriz al número de filas por el número de columnas que tiene la matriz.

En el ejemplo que acabamos de ver, la primera matriz tendría dimensión
3[pic]2, ya que tiene tres filas ydos columnas. La segunda tendría dimensión
3[pic]3. Y la tercera sería de orden 2[pic]3.

En general una matriz será de orden m[pic]n cuando posea m filas y n columnas.

Se suele utilizar la siguiente notación para denotar una matriz cualquiera, A:

A = [pic]

Cada elemento [pic] representa un número real concreto.

Los subíndices i j indican la fila y la columnadonde está situado el elemento. Es decir, mediante [pic] estamos representando el elemento situado en la fila 2, columna 1. En general, mediante [pic] representamos el elemento situado en la fila i, columna j.

Matriz cuadrada

Si la matriz posee el mismo número de filas que de columnas se le denomina matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada de orden n es, pues, de la siguienteforma:

A = [pic]

Diagonal principal de una matriz cuadrada

Los elementos [pic] forman la diagonal principal de la matriz cuadrada A.

La segunda matriz que hemos puesto en el ejemplo es una matriz cuadrada de orden tres ya que tiene tres filas y tres columnas. Los elementos de su diagonal principal son 2, 0, -3.

Matriz simétrica

Decimos que una matriz cuadrada...