Matrices

FUENTE: PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Autor: Arístides Torche.

TEMA: GUIA DE MATRICES

I. DEFINICIONES Y TIPOS BÁSICOS DE MATRICES

Definición: Matriz es un arreglo de números (reales o complejos) dispuesto en filas y columnas: Así

[pic]; [pic]; [pic]

Son matrices.

Tipos de matrices:

1. Matrices cuadradas yrectangulares. Descripción de una matriz por sus filas y columnas. 2. Orden de una matriz. El orden se denota mxn en que m es el número de filas y n el de ....columnas.
3. Matriz diagonal. Sólo elementos diferentes de cero en la diagonal principal.
4. Matriz escalar. Matriz con un sólo elemento.
5. Matriz identidad I, es matriz diagonal con los elementos de la diagonal iguales a 1
6. Matriz cero es unamatriz en que todos sus elementos son 0.
7. Matriz transpuesta de A, denotada A’ es aquella en que se han cambiado sus filas por las columnas de A’.

II. OPERACIONES CON MATRICES Y NUEVAS DEFINICIONES.

Relación de Equivalencia (=). Dos matrices son iguales si sus elementos homólogos lo son. Deben tener igual número de filas e igual número de columnas.

Operaciones con matrices: Lasmatrices se suman, sumando sus elementos homólogos. Para que dos o mas matrices se puedan sumar deben tener el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La multiplicación de dos matrices da origen a una tercera en que cada uno de sus elementos es igual a la suma de los elementos de una fila de la primera matriz por una columna de la segunda matriz. Así el elemento i,j de la matriz productoes igual a la multiplicación de los elementos de la fil i de la primera matriz por los de la columna j de la segunda. Para poder multiplicar matrices estas deben ser conformables es decir el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al de filas de la segunda. Para multiplicar una matriz por un escalar se debe multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.

Ejemplos:
Sea A= [pic] B = [pic]

Calcule A*B y muestre que el resultado es diferente a B*A ¿Qué significa esto?

Dado las matrices

[pic] [pic]

Calcule C*D y muestre que el resultado es la matriz 0

[pic] [pic] [pic]

Sea A = [pic] B = [pic]

Entonces AB ≠ BA

Dado:

[pic] [pic] [pic]

Calcule E* F y demuestre que su resultado es igual a E*G ¿Puede decir entonces que F = G?Nuevas Definiciones:

1. Matriz simétrica. Una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta. Así: X’X es simétrica. En efecto, (X’X)’ = X’X.
2. Si P = A*B entonces P’ = B’*A’.
3. Matriz ortogonal. Es toda matriz P tal que P* P’ = I. Interpretación geométrica de la ortogonalidad.
4. Matriz idempotente, Es toda matriz P tal que P*P = P. (es decir el cuadrado de P es P)

Sea M0 = I – i i’/nentonces M0 es idempotente
Sea M = I – X (X’X)-1X’ entonces M es idempotente

Interpretación de M0

Sea i vector columna de 1s
Sea x vector columna de xi

Entónces:

(xi = i’x
[pic]i’x

[pic] x – i [pic] = I x - i i’x/n = (I – i i’ /n) x

Luego:
[pic]x’M0x
[pic]x’M0y

Determinante de una matriz cuadrada A. Es una función multilineal alternada que define el área de losvectores que determinan la matriz A. El determinante de una matriz es igual al producto des sus valores característicos.

División. La división de matrices no existe como tal pero se puede realizar una operación equivalente a través de la multiplicación por la matriz inversa. Dado A, la matriz inversa es una matriz V tal que AV = I. La matriz inversa se denota [pic]

[pic] en que Ac es lamatriz de cofactores de A ¿Cómo se define la matriz de cofactores?

Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores xi son linealmente independientes si (λi*xi = 0 si y solo si λi = 0 para todo i .

Rango de una matriz X denotado ((X) es el mínimo entre el máximo número de vectores filas linealmente independientes y el máximo número de vectores columnas linealmente independientes....