Matrices

Ejercicio 1 (2.5 puntos)
Determinar para que valores de k el siguiente sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.


Solución
Para que el sistema tenga solución única espreciso que el determinante del sistema sea distinto de cero.

La condición es, entonces:
det =0,desarrollando el determinante por la primera fila entonces tenemos:
Recordemos la definición de undeterminante de n x n:
Definición
Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada de orden n, seleccionamos cualquier fila o columna de A y multiplicamos cada elemento en la fila(columna) por su cofactor.

Aplicando la definición anterior a la primera fila. Para el elemento:
a11 obtenemos (elemento a11).(cofactor del elemento a11)(1).(-1)1+1. =

El cofactor del elemento aij es el producto de (-1)i + j y el menor de aij
Por lo tanto el cofactor del elemento a11 es el producto de (-1)1+1 y el menor de a11
Elmenor del elemento a11 es: det

a12 obtenemos 1.(-1)1+2.
a13 obtenemos 0.(-1)1+3. =0

Entonces:
det =1. +(-1).=1.[(k+2).(k-6)-1.(-k-2)]+(-1).[2.(k-6)-2]=1.(k2-6.k+2.k-12+k+2)+(-1)(2.k-12-2)


ahora que tenemos calculado el determinante lo igualamos a cero:
, aquí utilizamos la fórmula de resolución para ecuaciones de segundo grado:
con
Obtenemos:

Así obtenemosque: el determinante es igual a cero cuando k = 4 ó k=1

Para que el sistema sea compatible determinado el determinante debe ser distinto a cero. Por lo tanto:



Si el determinante es igual acero, el sistema puede ser: compatible indeterminado o incompatible, veamos que ocurre entonces.
• k = 1, el sistema a resolver es:



Operaciones a realizar sobre la matriz anterior:
La nuevafila 2 será: 2(fila 1)–(fila 2)
La nueva fila 3 será: 2(fila 1)–(fila 3)
Así obtenemos la matriz:


Operaciones a realizar sobre la matriz anterior:
La nueva fila 3 será: 5(fila 2)+(fila 3)...