matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

MathCon c 2007-2008

Contenido

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solución . . . . . .
1.1.2. La ecuación ax = b . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
1.1.3. La ecuación ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. La ecuación ax + by + cz = d . . . . . . . . . . . . .
1.2. Sistemas de ecuaciones 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Ejemplos de sistemas 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Solución de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . .
1.2.3. Operaciones elementales sobre sistemas deecuaciones:
1.3. Método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Método de eliminación de Gauss-Jordan . . . . . . . .
1.4. Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Sistemasde Ecuaciones Lineales
1.1. Ecuaciones lineales

Definición 1 Una ecuación lineal sobre el campo R es una expresión de la forma:
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
donde los ai , b ∈ R, y las xi son indeterminadas.

Un conjunto de valores que toman las indeterminadas x1 = c1 , x2 = c2 , x3 = c3 , .., xn = cn , se llama
solución de la ecuación lineal si es verdadera la igualdad:
a1 c1 + a2c2 + · · · + an cn = b.
Siempre tenemos los siguientes casos:
1. Existe una única solución.
2. No existe solución.
3. Existe más de una solución.

1.1. Ecuaciones lineales

3

1.1.1. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solución

1.1.2. La ecuación ax = b

1. 2x = −1, la solución es x =

−1
, por lo tanto existe solución única.
2
5
, una vez más existe solución única.
3

2.3x = 5, nuevamente la solución es x =

3. La ecuación ax = b tiene única solución si y sólo si a = 0, no hay solución si a = 0, y b = 0, hay
más de una solución si a = 0, y b = 0.
4. Si b = 0 y a = 0, es decir ax = 0, tenemos la solución única cero x = 0, también llamada solución
trivial.

2x

1.5

2

1
0.5
0.5

1

1.5

2

Figura 1: Función 2x en el valor x = 1
1.5
1
0.50.5

1

1.5
2x

2

Figura 2: Función 2x − 2 en el valor x = 1

1.1. Ecuaciones lineales

4

1.1.3. La ecuación ax + by = c
1. Si a ó b es cero regresamos al caso anterior.
2. Un ejemplo: x + y = 1, en este caso tenemos una infinidad de soluciones, las soluciones se encuentran asignando un valor a una variable, ya sea x o y , posteriormente se despeja la otra variable. Sea
y = r,entonces x = 1 − r, por lo tanto el conjunto solución es:
{(1 − r, r)|r ∈ R}
3. Otro ejemplo: 2x − 3y = 2, entonces si y = r tenemos x =
solución es:
2 + 3r
{(
, r)|r ∈ R}
2

2 + 3r
. Por lo tanto el conjunto
2

4. En este caso (ax + by = c) tenemos una ecuación y dos variables, la resta 2 − 1 nos da el número de
variables a las que podemos asignarles un valor arbitrario r. A estavariable le llamaremos variable
libre.
5. Si a = b = 0, y c = 0, la ecuación no tiene solución.
6. De nuevo si c = 0, entonces la ecuación siempre tiene la solución x = y = 0, (la solución trivial).
7. Si a = 0, b = 0 entonces la ecuación ax + by = 0 tiene más de una solución que se obtienen,
−br
primero asignando y = r y entonces x =
, entonces el conjunto solución es:
a
{(

−br
,...