Matrices

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATRIZ INVERSA
Ing. Griselda Ballerini



Definición: Dada una A=(aij)n cuyo determinante sea no nulo, se llama matriz inversa y se escribe A-1 a otra matriz delmismo orden que A / A . A-1 = A-1 . A = 

Existencia: Dada A=(aij)n existe matriz inversa  |A| 0

Unicidad: Si existe A-1 de A, entonces esta matriz inversa es única.

Demostración por elabsurdo:

Sea B y C dos matrices inversas de A, entonces por definición:

B . A = A . B = 
C . A = A . C = 

B =  . B = (C. A) . B = C. (A . B) = C .  = C__________________________________

B= C

Cálculo:

Introducción:

Matriz de Adjuntos: Dada A=(aij)n con determinante no nulo, se llama así a la matriz AD, que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su adjuntocorrespondiente.

Ejemplo:



Calculamos los Aij

.......................................................

Con estos datos se construye AD


Teorema:
Dada A de orden n,  A-1  A 0 y valen:a) A-1 =

b) A-1 =

Demostración 
Sabemos que  A-1  A . A-1 = A-1 . A =   A . A-1 =   A . A-1=1
 A-1 =

debe ser distinto de 0

Demostración 
Sabemos que A 0, entonces planteamos elproducto A . ADT




A . ADT

(1)




(+) por definición de cálculo de determinantes
(++) por propiedad 9 de determinantes.

De (1) A . ADT = A . , comoA 0 podemos escribir

Análogamente se prueba que:



de cumple la definición de matriz inversa, entonces :




Ejemplo:
Retomando la matriz del ejemplo anterior: la secuencia...