Matrices

1 Matrices

Tema 1

MATRICES Y DETERMINANTES

1.1 DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y
columnas encerrados entre paréntesis, por ejemplo
⎛ 2 −1 0 1 ⎞
⎟
A = ⎜ −3 2
1 0⎟
⎜
⎜
⎟
⎝ 0 4 −2 −2 ⎠

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos
con minúsculas con dos subíndicesaij, que indican respectivamente la fila y la
columna en la que se sitúa el elemento
Columnas ⇓
1ª

2ª

⎛ a11 a12
⎜
a
a 22
A = {a ij} = ⎜ 21
⎜ ... ...
⎜
⎜a
⎝ n1 a n 2

m-ésima
... a1m ⎞ 1ª
⎟
... a 2m ⎟ 2ª
 filas
... ... ⎟ ...
⎟
... a nm ⎟ n − ésima
⎠

Una matriz de n filas y m columnas se dice que es una matriz de orden n¥m
y se representa por An¥m siendo n el nº de filasy m el nº de columnas. Definimos
dimensión de una matriz como el número n¥ m de elementos que tiene; bien claro
que, no será igual una matriz n¥m que una matriz m¥n, aunque tengan igual
dimensión:
⎛ 1 −4 2 ⎞
A2¥3 = ⎜
⎟
⎝ −3 0 5 ⎠

Orden 2¥3, dimensión 6
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

⎛ 1
A3¥2 = ⎜ −4
⎜
⎜ 2
⎝

−3 ⎞
⎟
0 ⎟
5 ⎟
⎠

Orden 3¥2, dimensión 6

2Matrices

Tema 1

Atendiendo al orden de una matriz, podemos definir:
i) Matriz cuadrada, matriz que verifica n = m, en este caso se escribe An o An¥n
y se dice que es una matriz de orden n.
⎛1 4 7⎞
⎛ 1 3⎞
⎜
⎟
A2 = ⎜
A3 = ⎜ 2 5 8 ⎟
⎟
⎝ 2 4⎠
⎜ 3 6 9⎟
⎝
⎠
ii) Matriz rectangular, matriz en la que nπm
⎛ 1 −4
A 2×3 = ⎜
⎝ −3 0

0 ⎞
⎟
0 ⎠

A 4×3

⎛1
⎜
0
=⎜
⎜3
⎜
⎜1
⎝

5
78
3

2⎞
⎟
4⎟
0⎟
⎟
2⎟
⎠

Casos notables:
ii-a ) Matriz fila: es una matriz de orden (1¥m):
( a11 a12 .......a1m )
ii-b ) Matriz columna: es una matriz de orden (n¥1):
⎛ a11 ⎞
⎜ ⎟
⎜ a 21 ⎟
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎜a ⎟
⎝ n1 ⎠

Atendiendo a sus elementos:
iii)
iii_a) Matriz real, sus elementos son números reales: aij e —
iii_b) Matriz compleja, sus elementos son números complejos aij e ¬iii_c) Matriz nula, sus elementos son todos nulos
⎛0
⎛ 0 0 0⎞
⎜
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0
O =⎜
⎟ , O = ⎜ 0 0 0⎟ , O = ⎜
⎟, O =⎜
0
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎜ 0 0 0⎟
⎜
⎝
⎠
⎜0
⎝

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

0
0
0
0

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0⎟
⎠

3 Matrices

Tema 1

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

Sea Mn¥m el conjunto de las matrices de orden n¥m con elementos reales1.2.1 Igualdad de matrices

Decimos que dos matrices del mismo orden A = {aij}, B ={bij} son iguales si
"i,j ŒÕ

aij = bij

Es decir, tienen todos los elementos iguales y en el mismo orden.
1.2.2 Suma y diferencia de matrices

Dadas las matrices A = {aij}, B = {bij} se define A ± B como la matriz C = {cij} tal
que
cij = aij ± bij
Para realizar estas operaciones, las matrices debenser del mismo orden y el
resultado es una matriz de ese mismo orden.
Ejemplo 1.1
⎛ 3 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 0 ⎟
⎜ 4 1⎟
⎝
⎠

⎛ 1 0⎞
⎜
⎟
B = ⎜ −1 −1 ⎟
⎜ 2 −1 ⎟
⎝
⎠

⎛ 4 2⎞
A + B = ⎜ −2 −1 ⎟
⎜
⎟
⎜ 6 0⎟
⎝
⎠

Propiedades de la suma:
i) Asociativa:
" A, B, C Œ Mn¥m :

⎛2 2⎞
⎜
⎟
A−B=⎜ 0 1⎟
⎜2 2⎟
⎝
⎠

A + (B + C) = (A + B) + C

ii) Conmutativa:
" A, B Œ Mn¥m :

A+B=B+Aiii) Elemento neutro:
" A Œ Mn¥m , $ O Œ Mn¥m / A + O = O + A = A
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería

4 Matrices

Tema 1

iv) Elemento opuesto:
" A Œ Mn¥m $ -A Œ Mn¥m /

A + (-A) = O

A la matriz –A se denomina matriz opuesta de A y resulta de considerar la
matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A.
1.2.3 Producto de un escalar por una matriz

Dado unescalar aŒ— y una matriz AŒ Mn¥m, se define el producto a · A =
A · a como otra matriz del mismo orden, que resulta de multiplicar a por cada

elemento de A:
⎛ a11 a12
⎜
a
a 22
a · A =a · ⎜ 21
⎜ ... ...
⎜
⎜a
⎝ n1 a n 2

... a1m ⎞
⎟
... a 2m ⎟
=
... ... ⎟
⎟
... a nm ⎟
⎠

⎛ α·a11 α·a12
⎜
⎜ α·a 21 α·a 22
⎜ ...
...
⎜
⎜ α·a
⎝ n1 α·a n 2

... α·a1m ⎞
⎟
... α·a 2m ⎟...