Matrices

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
M´dulo B´sico Facultad de Ingenier´
o
a
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Gu´ de Ejercicios N◦ 1
ıa
´
Coordinaci´n de Algebra II
o
RicardoSantander Baeza
abril del 2013
El Trabajo dignifica
al ser humano
Estimados estudiantes, los profesores que componen esta coordinaci´n, les proponen estos ejercicios con el obo
jetivo de que a trav´s deltrabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en
e
el m´s breve plazo, si es que a´n no lo han hecho, sentir por una parte el placer de estudiar matem´tica, y pora
u
a
otra desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente, operar con:
[1] Matrices y Determinantes
[2] Sistemas de ecuaciones lineales
1. Algunas sugerencias
[1] Leacuidadosamente el problema.
[2] Reconozca lo que es informaci´n, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta.
o
[3] Trate de entender en la forma m´s clara para usted, lo que se lepide, en particular si puede usar ”sin´nimos”,
a
o
que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor !. Este acto nunca esta de m´s.
a
[4] Analice sus datos extrayendo la informaci´n quecorresponde, orientado por su entendimiento de lo que
o
debe probar.
2. Matrices y Determinantes




1 1 1
[1] Si A =  0 1 1  ∈ MR (3). Determine An , para n ∈ N.
0 0 1
[2] Demuestre usandoInducci´n matem´tica que
o
a
n

a 1 0
an nan−1
 0 a 1  =  0
an
0 0 a
0
0


n(n−1) n−2
a
2
nan−1

an




[3] Si A ∈ U(MR (n)) entonces calcule usando propiedades:
•det(Adj(A))
• det(A−1 )
• det(A · A−1 )
[4] Sea A ∈ MR (n). demuestre que
A = At =⇒ Adj(A) = (Adj(A))t
1

(∀n; n ∈ N)

2

Coordinaci´n de Algebra II Ricardo Santander
o




α β −α
0 ∈ MR (3) entonces
[5] Si A =  1 α
β α −β
[a] Determine el conjunto
I = {(α, β) ∈ R2 | A ∈ U(MR (3)}
[b] Para u ∈ I, (si I = ∅ ), determine A−1





a b c
a+b b+c c+a
[6] Si det  x...