Matrices

• MATRICES Y DETERMINANTES.
MATRICES.
1.Definiciones.
Matriz: Se llama matriz de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y n
columnas.
a11 a12 ..............................a1n
A = a21 a22 ..............................a2n
.............................aij.......................
am1 am2..............................amn
Matriz fila: Es una matriz deorden 1xn
A = (a11 a12...........................a1n)
Matriz columna: Es una matriz de orden mx1
b11
B = b21
.
.
bm1
Matriz Cuadrada: Es una matriz que cumple que el nº de filas es igual al número de columnas.
Existen dos clases de diagonales: la principal y la secundaria.
a11 a12.................. a1n
a21 a22...........a2n−1 a2n
A = ....................................
an1an2....................ann
a11 a22 a33 ann => fila=columna
Diagonal Principal: Aquella formada por los elementos a11 a22 a33... (solo en las matrices cuadradas).
Diagonal Secundaria: Aquella formada por los elementos a1n a2n−1.....ann.

1

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a un lado de la diagonal
principal. Habrá matrices Triangulares Superiores, queson aquellas que tienen nula la parte inferior de la
diagonal principal.
3 2 −7 Triangular Superior
A=040
0 0 1 i > j => aij = 0
Matriz Triangular Inferior: Es una matriz que tiene nula la parte superior de la diagonal principal.
−1 0 0
A = 3 2 0 i < j => aij = 0
−2 −1 3
Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos de ambos lados de la diagonal
principal.
−1 0 0D=020
003
Matriz Unidad o identidad: Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal
principal igual a 1.
10100
I=01I=010
001
1 si i = j
aij=
0 si i = j
Matriz Traspuesta: Una matriz traspuesta de una matriz A, es la que se obtiene al convertir ordenadamente
las filas a columnas, se representa por At.
A = (aij) mxn
At = (aij) nxm
2 −1 3 2 0
A = 0 2 1 At −1 2
231
(2*3)
(3*2)
Matriz Simétrica: Una matriz simétrica de una matriz cuadrada A, es aquella que es igual a su traspuesta, es
decir, son iguales todos los elementos que son simétricos respecto de la diagonal principal.
aij = aji
1 −1 2
A = −1 0 1
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Suma de matrices.
En el conjunto de matrices mxn se define una ley de composición interna llamada suma de matrices, de forma
que sitenemos una matriz A=(aij)mxn y una matriz B=(bij)mxn se define matriz suma A+B=C
C=(cij)mxn; A,B Mmxn
De forma que cada (Cij) lo obtenemos de la suma de aij+bij
Ejemplo:
−1 2 3
A= 0 −1 2 4 1 5
A+B=C= 0 0 −2
5 −1 2
B= 0 1 −4
Propiedades de la suma de matrices.
1. Conmutativa: Si yo sumo A+B obtengo el mismo resultado que si sumo B+A y eso se verifica sí A, B
Mmxn
2. Asociativa: (A+B)+C =A+(B+C); A, B, C Mmxn
3. El elemento neutro: Se llama matriz nula, se denota siempre Omn, es una matriz que todos sus elementos
son 0.
A+Omn=A, A Mmxn
4. El elemento opuesto: Que es la matriz opuesta se denota (−A)

3

A+(−A) = (−A)+A = Omn; A Mmxn
Producto de una matriz por un número real.
Dado el conjunto de matrices de orden Mmxn se define una ley de composición externa, llamadaproducto de
un numero real por una matriz de orden mxn de forma que A=(aij)mxn y un numero real K (K ) se llama K*A
= (K*aij)mxn
K=1
−1 1 0
1 −1 0 K*A= −2 −3 1
A= 2 3 −1
Propiedades del producto de una matriz por un número real.
1. Distributiva mixta del producto respecto de la suma de matrices.
K.(A+B) = K*A+K*B; A,B Mmxn; K
Ejemplo:
1. K·(A+B)
1 −2 3 3 1 7
A = A+B = C =
0 2 −1 1 2 −1
23 4 6 2 14
B = C·K = D =
1 0 0 2 4 −2
K=2
2.
K=3 3 4 1 6 A = B =
2532
3 4 1 6 4 10 12 30
3· + = 3· =
2 5 3 2 5 7 15 21

4

2'.
3 4 1 6 9 12 3 18
3+3=+=
2 5 3 2 6 15 9 6
12 30
=
15 21
2. Distributiva mixta del producto respecto de la suma de números reales.
(K+r)*A = k*A+r*A; A Mmxn; k,r
3. Asociativa mixta:
(k*r)*A = k*(r*A); A Mmxn; k,r
4. El neutro para la ley externa:...