Matrices
Páginas: 42 (10276 palabras)
Publicado: 7 de mayo de 2010
2
Página 48
s
ÁLGEBRA DE MATRICES
Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: — Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. — B solo tiene un candidato (el C). — Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D). — El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros. — Al candidato E no le prefiere ninguno de losotros consejeros. De hecho, es el único que no se considera idóneo para el cargo. — Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados. — Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente. — ... Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo menos eso piensan sus compañeros del consejo).
Página 49
s
Aquí tienes representados, medianteflechas, los vuelos que hay el martes desde el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama. B B1 B2 B3 B4 C C1 C2 B1 B2 B3 B4 C1 3 1 1 0 C2 2 0 0 2
Unidad 2. Álgebra de matrices
1
s
Una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y llegar el martes a C. A B A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4
En total tenemos 5 posibles formas de ir deA1 a C1. Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta. C1 A1 A2 A3 5 2 0 C2 2 2 2
Página 51
1. Escribe las matrices traspuestas de: 3 1 2 5 7 A= 2 5 B= 4 1 0 7 6
( )
4 1 1 3
(
)
7 2 D= 0 6
( )
1 0 7 2
1 3 5 –1 C= 0 2 4 1 6 1 0 3
(
)
1 7 4 E = 7 –1 0 4 0 3
(
) )
F = (5 4 6 1)
At
3 27 = 1 5 6
(
)
Bt
2 4 = 5 1 7 0
( )
Ct
1 3 = 5 –1 5 4 = 6 1
Dt
7 2 0 6 = 4 1 1 3 1 0 7 2
(
) (
1 2 –1 2 3 0 . –1 0 4
Et
1 7 4 = 7 –1 0 4 0 3
(
Ft
( ) ()
0 2 4 1 6 1 0 3
2. Escribe una matriz X tal que X t = X. Por ejemplo, X =
)
Unidad 2. Álgebra de matrices
2
3. Escribe una matriz que describa lo siguiente:
( )
2 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0
Página 52
1. Sean las matrices: A=
(1 4 (2 8
0 –2 1 –3
) ) (
B=
–1 (–4
0 1 1 3
)
C=
(7 8
1 –1 –10 0
) ) (
D=
( –3 6
1 5 2 4
)
Calcula E = 2A – 3B + C – 2D. E= 0 –4 –3 0 3 7 1 –1 –6 2 10 18 –1 –18 – + – = 2 –6 –12 3 9 8 –10 0 12 4 8 16 –15 –23
) (
) (
)
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2. Efectúa todos losposibles productos entre las siguientes matrices: 1 2 A= –2 5
(
3 1
)
7 –1 B= 0 3
( )
0 1 1 4
C=
(
2 7 1 6 3 0 –2 –5 1
5 0 0
) ( (
1 –1 1 D= 0 5 2 2 3 –3
)
8 –2 4 5 A·C= ; 24 –4 –1 –10
(
)
7 18 –4 A·D= ; 0 30 5
(
)
7 –3 B·A= –2 –5
22 28 C · B = 39 3 ; –9 –4
( )
–6 –1 2 5 D · C = 26 5 2 0 ; 28 38 –1 10
(
)
( )
14 21 3 –2 5 1 2613
D·D=
3 –3 –4 4 31 4 –4 4 17
)
Unidad 2. Álgebra de matrices
3
3. Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 × 3 que, multiplicada por cualquier otra matriz A (3 × 3), la deje igual. Es decir: A · I3 = I3 · A = A La matriz I3 se llama matriz unidad de orden 3. Cuando la tengas, sabrás obtener una matriz unidad de cualquier orden. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
( )
(
Página56
1. Comprueba las propiedades 2, 3 y 4 anteriores, referentes al producto de números por matrices, tomando: a = 3, b = 6 A=
2) 9A =
9 15 –3 18 30 –6 27 45 –9 3A + 6A = + = 6 –9 0 12 –18 0 18 –27 0 27 45 –9 18 –27 0
(
3 5 –1 2 –3 0
)
B=
(
)
(
7 –2 1 4 6 8
)
) (
) (
)
9A = 3A + 6A 3) 3(A + B) = 3 9 15 –3 21 –6 3 30 9 0 3A + 3B= + = 6 –9 0 12 18 24 18 9 24
(
(
10 3 0 30 9 0 = 6 3 8 18 9 24
) ( ) (
) ) (
)
3(A + B) = 3A + 3B 4) 1 · A =
(
3 5 –1 =A 2 –3 0
)
Página 57
2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices: 1 4 0 5 A= 1 6
( ) (
–1 5 6 7 B= 3 0 9 –2
(
)
4 1 6 0 C= 0 –1 5 5
(
)
15 2 68 19 3 6 12 7 A · (B + C) = A · = 15 –5 70 15 3...
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ÁLGEBRA DE MATRICES
Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: — Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. — B solo tiene un candidato (el C). — Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D). — El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros. — Al candidato E no le prefiere ninguno de losotros consejeros. De hecho, es el único que no se considera idóneo para el cargo. — Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados. — Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente. — ... Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo menos eso piensan sus compañeros del consejo).
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Aquí tienes representados, medianteflechas, los vuelos que hay el martes desde el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama. B B1 B2 B3 B4 C C1 C2 B1 B2 B3 B4 C1 3 1 1 0 C2 2 0 0 2
Unidad 2. Álgebra de matrices
1
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Una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y llegar el martes a C. A B A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4
En total tenemos 5 posibles formas de ir deA1 a C1. Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta. C1 A1 A2 A3 5 2 0 C2 2 2 2
Página 51
1. Escribe las matrices traspuestas de: 3 1 2 5 7 A= 2 5 B= 4 1 0 7 6
( )
4 1 1 3
(
)
7 2 D= 0 6
( )
1 0 7 2
1 3 5 –1 C= 0 2 4 1 6 1 0 3
(
)
1 7 4 E = 7 –1 0 4 0 3
(
) )
F = (5 4 6 1)
At
3 27 = 1 5 6
(
)
Bt
2 4 = 5 1 7 0
( )
Ct
1 3 = 5 –1 5 4 = 6 1
Dt
7 2 0 6 = 4 1 1 3 1 0 7 2
(
) (
1 2 –1 2 3 0 . –1 0 4
Et
1 7 4 = 7 –1 0 4 0 3
(
Ft
( ) ()
0 2 4 1 6 1 0 3
2. Escribe una matriz X tal que X t = X. Por ejemplo, X =
)
Unidad 2. Álgebra de matrices
2
3. Escribe una matriz que describa lo siguiente:
( )
2 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0
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1. Sean las matrices: A=
(1 4 (2 8
0 –2 1 –3
) ) (
B=
–1 (–4
0 1 1 3
)
C=
(7 8
1 –1 –10 0
) ) (
D=
( –3 6
1 5 2 4
)
Calcula E = 2A – 3B + C – 2D. E= 0 –4 –3 0 3 7 1 –1 –6 2 10 18 –1 –18 – + – = 2 –6 –12 3 9 8 –10 0 12 4 8 16 –15 –23
) (
) (
)
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2. Efectúa todos losposibles productos entre las siguientes matrices: 1 2 A= –2 5
(
3 1
)
7 –1 B= 0 3
( )
0 1 1 4
C=
(
2 7 1 6 3 0 –2 –5 1
5 0 0
) ( (
1 –1 1 D= 0 5 2 2 3 –3
)
8 –2 4 5 A·C= ; 24 –4 –1 –10
(
)
7 18 –4 A·D= ; 0 30 5
(
)
7 –3 B·A= –2 –5
22 28 C · B = 39 3 ; –9 –4
( )
–6 –1 2 5 D · C = 26 5 2 0 ; 28 38 –1 10
(
)
( )
14 21 3 –2 5 1 2613
D·D=
3 –3 –4 4 31 4 –4 4 17
)
Unidad 2. Álgebra de matrices
3
3. Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 × 3 que, multiplicada por cualquier otra matriz A (3 × 3), la deje igual. Es decir: A · I3 = I3 · A = A La matriz I3 se llama matriz unidad de orden 3. Cuando la tengas, sabrás obtener una matriz unidad de cualquier orden. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
( )
(
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1. Comprueba las propiedades 2, 3 y 4 anteriores, referentes al producto de números por matrices, tomando: a = 3, b = 6 A=
2) 9A =
9 15 –3 18 30 –6 27 45 –9 3A + 6A = + = 6 –9 0 12 –18 0 18 –27 0 27 45 –9 18 –27 0
(
3 5 –1 2 –3 0
)
B=
(
)
(
7 –2 1 4 6 8
)
) (
) (
)
9A = 3A + 6A 3) 3(A + B) = 3 9 15 –3 21 –6 3 30 9 0 3A + 3B= + = 6 –9 0 12 18 24 18 9 24
(
(
10 3 0 30 9 0 = 6 3 8 18 9 24
) ( ) (
) ) (
)
3(A + B) = 3A + 3B 4) 1 · A =
(
3 5 –1 =A 2 –3 0
)
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2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices: 1 4 0 5 A= 1 6
( ) (
–1 5 6 7 B= 3 0 9 –2
(
)
4 1 6 0 C= 0 –1 5 5
(
)
15 2 68 19 3 6 12 7 A · (B + C) = A · = 15 –5 70 15 3...
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