matrices

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Matriz: Es un arreglo rectangular de objetos ordenados en filas o columnas. En forma
simbólica se denota por:

 a11 a12
a
 21 a22
 ... ...
A
 ai1 ai 2
 ... ...

 am1 am 2


... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
... ...
... amj

... a1n 
... a2 n 

... ... 

... ain 
... ... 

... amn 


 Notación: Una matriz, en forma abreviada se denota por: A  aij

aij  K  K 

oK



tal que
mn

i  1, 2,..., m (fila) y j  1, 2,..., n (columna)

El conjunto de objetos ai1 , ai 2 ,..., ain , se denomina i  ésima fila y el conjunto de objetos

a1 j , a2 j ,..., amj constituyen la j  ésima columna de la matriz. El elemento aij es el objeto
que se encuentra en la i ésima fila y la j  ésima columna , así por ejemplo, a11 está
ubicado en la primera fila y primera columna, a23 está ubicado en la segunda fila y tercera
columna, etc.
ORDEN DE UNA MATRIZ: El orden de una matriz está dado por el producto m  n ,
donde, m indica el número de filas y n el número de columnas.
Hasta el momento hemos definido un nuevo objeto matemático llamado matriz. La
colección detodos estos objetos con una característica común constituye un nuevo
objeto matemático llamado el conjunto de matrices de orden m  n y que se define a
continuación.
EL CONJUNTO DE MATRICES
El conjunto de matrices de orden mxn se denota por K mn y se define como:





K nm  A  aij  / aij  K ,1  i  m,1  j  n
  mxn

Siempre que se introduce un nuevo conjunto, se debeprecisar cuándo dos de sus
elementos son iguales, es decir, si A y B son dos elementos del conjunto K mn ,
relación “ A es igual a B ” se denota por A  B , y significa que los objetos A y
representan el mismo elemento. La negación “ A no es igual a B ” o “ A es diferente de
” se denota por A  B . Esto quiere decir que para dos elementos cualesquiera A y
del conjunto K mn , se cumple una ysólo una de estas posibilidades:

A B o A B

la

B
B
B

La definición formal de igualdad de Matrices, se expresa a continuación:
IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices del mismo orden m  n : A  (aij )mxn y

B  (bij )mxn son iguales si y sólo si aij  bij , i y j , donde 1  i  m , 1  j  n .
Es decir, las matrices A y B son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y tiene todossus elementos correspondientes iguales.


En forma simbólica: A  B  aij  bij , i, j 

.

Si A no es igual a B , se denota: A  B si y sólo si aij  bij , para a lg ún i , j 



.

Se entiende que un elemento de una matriz A es correspondiente con otro elemento de
una matriz B si se encuentran en la misma fila y en la misma columna. Así por ejemplo
a32 es un elemento de A quees correspondiente con el elemento b32 de B por
encontrarse en la misma fila (3) y columna (2).
PROPIEDADES: La relación A  B goza de las siguientes propiedades, es decir,
 A, B y C  K mn se cumple:

I 2 ) Simétrica: A, B ; A  B  B  A
I1 ) Reflexiva: A, A  A
I 3 ) Transitiva: A, B, C ; A  B y B  C , entonces A  C
OPERACIONES CON MATRICES
Con los elementos del conjunto K nm, definamos dos operaciones: La adición de matrices
y la multiplicación de un número real (escalar) por una matriz.
Definición: Adición de matrices.

 

Sean A  aij

mn

 

y B  bij

mn

dos matrices del mismo orden m  n . La suma de A y B

    



es la matriz A  B de m  n definida por: A  B  aij  bij  aij  bij .
Definición: Multiplicación de unnúmero real por una matriz.

 

Si A  aij

mn

es una matriz de m  n y si   K es un escalar , entonces la matriz  A

  



de m  n está definida por:  A   aij   aij .
Teorema 2.1 (propiedades de la suma y multiplicación por un escalar): La adición de
matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar goza de las siguientes
propiedades:
Sean A, B y C  K...