matrices

Año académico: 2010-2011


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: Bach.
CCSS



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Cálculo Matricial.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Cálculo Matricial.


Matrices: se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto denúmeros reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

Terminología:
Las matrices suelen describirse o nombrarse con letras mayúsculas, A, B, C, … etc. También designaremos una matriz completa con el símbolo , de forma que los subíndices toman los valores:
.
La variación de éstos últimos proporciona el número de filas (m) y el nú­mero de columnas (n).
Los números que forman lamatriz se denominan elementos y uno cual­quiera se representa por . Los valores de los subíndices nos proporcio­nan la información sobre su posición dentro de la matriz, fila i, columna j.
Al número de filas y columnas se le denomina dimensión de la matriz y se designa por .
En el caso de que el número de filas coincida con el de columnas (m=n) se dice que la matriz es cuadrada de orden n.
Sellama submatriz de una matriz dada a la que resulta de suprimir alguna fila o alguna columna de esta última.
Igualdad de matrices: dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Tipos de matrices:
Rectangular: es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas, es de­cir .
Ejemplos: , ,
Fila: es toda matrizrectangular de una sola fila (m=1).
Ejemplos: , ,
Columna: es toda matriz rectangular con una columna (n=1)
Ejemplos: , ,
Cuadrada de orden n: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (n=m).
Ejemplos: , ,
Entre los elementos de las matrices cuadradas suelen distinguirse, o tenerse en cuenta, los que componen sus diagonales. Diagonal princi­pal de la matriz son loselementos , es decir, los elementos . Diagonal secundaria son los elemen­tos , es decir, los elementos .
Triangular superior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos: , ,
Triangular inferior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos: , ,Triangular: es toda matriz cuadrada que es triangular superior o inferior.
OBS.- son todas las que aparecen al resolver sistemas por el método de triangulación de Gauss, además de en la búsqueda de la inversa de una matriz dada y en el cálculo del rango de una matriz.
Diagonal: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados sobre la diagonal principal son nulos.
Ejemplos: , ,OBS.- las matrices unidad son todas diagonales.
Escalar: es toda matriz diagonal en la que los términos de la diagonal principal son iguales. La matriz unidad de cualquier orden es una matriz cuadrada, dia­gonal, escalar.
Ejemplos: , ,
Unidad (identidad): es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal princi­pal valen uno. Se suele nombrar como , siendo n el orden de la matriz.
Cero(nula): es la matriz con todos sus elementos nulos. Se suele nombrar por o simplemente O.
Operaciones con matrices:
Suma: para dos matrices, A y B, de la misma dimensión, , la suma de ambas, , es la matriz de la misma dimensión, , dada por la suma de sus términos correlativos:
Ejemplos: sean y , entonces su suma será .
Sean y , entonces su suma será
OBS.- no podemos sumar matrices que notengan la misma dimensión. Además la suma de matrices cumple todas las propiedades de la suma de números reales.
Asociativa:
Elemento neutro: la matriz nula es el elemento neutro,
Elemento opuesto: la matriz opuesta de una matriz A es aquella que tiene por elementos los opuestos de la matriz dada y , siendo O la matriz nula.
Si , entonces , ya que , que da como resultado .
Conmutativa:...