matrices

Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.




Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz sedenomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y loselementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Loselementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementossituados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que loselementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matrizinversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal siverifica que:
A·At = I.
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.




Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A = (aij) y un número real k  R, se define el producto de un número real poruna matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)



Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A  Mmxn, a, b 
a · (A + B) = a · A + a · BA,B  Mmxn , a  
(a + b) · A = a · A + b · A A  Mmxn , a, b  
1 · A = A A  Mmxn
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B....