Matrices

Cap´ ıtulo 1

Matrices
1.1. Definiciones
Se consideran los subconjuntos A = {1, 2, 3, ..., n} y B = {1, 2, 3, ..., m} del conunto de los n´meros naturales N. Se llama matriz de orden (n, m)definida u sobre el cuerpo de los n´meros reales R, a toda aplicaci´n u o A×B (i , j) −→ −→
a

R a(i , j) = aij

que asocia a cada par (i , j) el n´mero real a(i , j), que abreviadamente lo repreusentamos por aij .

1.2. Operaciones con matrices
Sea Mn,m el conjunto de todas las matrices rectangulares de orden (n, m).

1.2.1. Igualdad de matrices
Dadas dos matrices aij y bij ∀(i , j) ∈ A × Bdel mismo orden (n, m), se dice que son iguales si se verifica: aij = bij ∀(i j) ∈ A × B

La igualdad de matrices se reduce, por tanto, a n · m relaciones de igualdad entre n´meros. u

1.2.2. Suma dematrices
En el conjunto Mn,m de las matrices rectangulares de orden (n, m), se define la siguiente ley decomposici´n interna, llamada suma de matrices: o Mn,m × Mn,m aij , bij −→ −→
+

Mn,m (aij )+ (bij ) = (aij + bij )

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Matrices

o sea, a cada par de matrices rectangulares de orden (n, m) le hacemos corresponder otra matriz rectangular del mismo orden cuyos elementos se obtienensumando t´rmino a t´rmino los correspondientes a dichas matrices. e e Ejemplo 2 3 1 0 5 6 3 4 + 4 0 2 3 2 0 0 1 = 7 9 4 4 6 0 2 4

Teorema 1.1. El conjunto (Mn,m , +) de las matrices rectangulares deorden (n, m) es una grupo abeliano respecto de la operaci´n suma de matrices. o 1. Asociativa [(aij ) + (bij )] + (cij ) = (aij + bij ) + (cij ) = ([aij + bij ] + (cij ) = = (aij + [bij + cij ]) =(aij ) + (bij + cij ) = (aij ) + [(bij ) + (cij ) Los pasos 1, 2, 4 y 5 lo son por definici´n de suma de matrices y el 3 por o la propiedad asociativa de los n´meros reales. u 2. Elemento neutro Vamosdemostrar que la matriz nula es el elemento neutro para la suma (aij ) + (0) = (aij + 0) = (aij ) (0) + (aij ) = (0 + aij ) = (aij ) En los pasos 1 y 3 se aplica la definici´n de suma y en los 2 y 4...