matrices


Matriz Inversa por el
Método de Gauss-Jordan
AX=Y matriz aumentada.
Solo son invertibles para sistemas cuadrados.
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de coeficientes orden n. Paracalcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n  2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matrizidentidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como seindica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

 
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de

 

 

EJERCICIO2
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no esinvertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
 
,
 
 
,
 
 
 
,
 

 
 
La matrizque ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matrizidentidad I.
por =

EJERCICIO 3
Se propone la matriz (AI), y se procede a obtener la matriz (IA-1), utilizando el método de Gauss-Jordan:







Por lo que la matriz inversa obtenidaes:














6.11. Relacion entre la inversa y los determinantes
Hay una estrecha relacio´n entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se verifica que:Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒|A|= 0. Adem´as,enestecaso,lamatrizinversadeA, A−1 se calcula de la manera: A−1 = (Adj(A)t |A| donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir,...