Matrices

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de
matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemasde
ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas
de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teoremade
Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras
cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, lainterpretación
geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de
determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de unplano
en el espacio.
Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son
muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas defísica, economía, e
ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría
de la información [W1], y la criptografía
Definición de determinante
Dadoslos números 1,2,3,....n existen n! formas distintas de ordenarlos. Cada una de dichas
ordenaciones se llama permutación. El conjunto de todas las permutaciones se representa por
Pn y la permutación(1, 2, 3, ..., n) se llama permutación principal.
Por ejemplo, el conjunto {(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)} contiene las 6
permutaciones diferentes de la terna (1 2 3).
Diremosque dos elementos de una permutación forman una sucesión si están colocados en el
mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario, diremos que forman una
inversión.
Por ejemplo: (23 1 4 5 6) tiene dos inversiones (nº de pasos a realizar para obtener la
permutación principal).
Llamaremos signatura de una permutación al valor (-1)donde es el número de inversiones de...