Matrices

Matemáticas II (CIPOL)

Prof. Hugo Payahuala Vera

Unidad I. Matrices

Definición (Matriz)
Una matriz es un arreglo rectangular de números, dispuestos en filas y columnas

Notación

 a11

 a 21
 .
A=
 .
 .

a
 n1
A

es una matriz de

n

filas y

a12
a 22
.
.
.
an2

m

. . . a1m   a11

. . . a 2 m  a 21

. . . .   .
=
. . . .   .
.. . .   .
 
. . . a nm  a n1
 

a12
a 22
.
.
.
an2

. . . a1m 
. . . a2m 

. . . . 
 = ( ai j )
. . . . 
. . . . 

. . . a nm 


columnas

Observación
El conjunto de las matrices de
R
R
reales

, se denota por

n

filas y

m

columnas con elementos en el conjunto de los números

Μ nxm ( ) .

Ejemplo

Dada la matriz

3
3 4
R

A =  2 1 − 1 ∈ Μ n x m ( ) , entonces a11 = 3 , a32 = −6 , a13 = 3 ,…
9 − 6 2 



Ejemplo
Un fabricante elabora los productos A, B y C. Las unidades de mano de obra y de materiales usados en
la producción de una semana, los representa en la siguiente tabla

Productos
A

Materiales

C

10

12

16

5

Mano de obra

B

9

7

Esta información puede representarsede forma más simple mediante la siguiente matriz,

10 12 16 
A=
5 9 7




Definición (Matriz fila)
Una matriz fila es aquella que consta solamente de una fila y se denota por

A = (a11

a12

. . . a1n )
1

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Definición (Matriz columna)
Una matriz columna es aquella que consta solamente de una columna y se denota por a11 
 
 a 21 
 . 
A= 
 . 
 . 
 
a 
 n1 
Definición (Orden de una matriz)
El orden de una matriz es el producto del número de filas y el número de columnas

Ejemplo

El orden de la matriz

 a11

 a 21
 .
A=
 .
 .

a
 n1

a12
a 22
.
.
.
an2

. . . a1m 

. . . a2m 
. . . . 
 = n⋅m
. . . . 
. . . . 

. . . a nm 
Ejemplos

1. Formar la matriz columna de tres elementos tales que a 21 = 3 y ai j = 0 en los demás casos
Solución

 a11   0 
   
A =  a 21  =  3 
 a  0
 31   

( )

2. Si A = ai j es de orden 3× 4 y ai j = i + j . Determinar A
Solución

 a11

A =  a 21
a
 31

a12

a13

a 22
a32

a 23
a33

a14   2 3 4 5 
 

a 24  =  3 4 5 6 a34   4 5 6 7 
 


3. Formar una matriz I 3 de orden 3× 3 , donde a11 = a 22 = a33 = 1 y ai j = 0 en los demás casos
Solución

 a11

I 3 =  a 21
a
 31

a12
a 22
a32

a13   1 0 0 
 

a 23  =  0 1 0 
a33   0 0 1 
 


Definición (Matrices iguales)
Dos matrices son iguales, si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes son iguales.
Esdecir, si

A = (ai j )

y

B = (bi j ) , entonces A = B ⇔ ai j = bi j , ∀i, ∀j
2

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Ejemplos

1. Las matrices

3  

1 + 2
 3
4 =

3 2 

 0
 0
6  


3 

4 
2

2 

2. Las matrices

1
 
(1 1 1) ≠ 1 , ya que la primera es de orden 1× 3
1
 

3. Las matrices

(1 1) ≠ (1

1 1),

y la segunda es de orden

3 ×1

no tienen el mismo orden

Definición (Matriz nula)
La matriz cero o nula, denotada por

(0) , es aquella en que todas sus componentes son

0 , o sea,

a i j = 0, ∀i, ∀j
Así,

0 0 . . .

0 0 . . .
. . . . .
(0) = 
. . . . .

. . . . .
 0 0 0 0 .0


0

0
0
.
0

0
0


Definición (Matriz cuadrada)
Unamatriz es cuadrada, si tiene el mismo número de filas que de columnas.

R
A∈ Μ nxm ( )

Así,

es cuadrada

⇔n=m

Observación
El conjunto de las matrices cuadradas se denota por

R
Μn( )

Definición (Diagonal principal)

La diagonal principal de una matriz cuadrada

elementos

a11 , a 22 ,..., a nn

 a11

 a 21
 .
A=
 .
 .

a
 n1

a12
a 22
.
.
....