matrices

MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ.
Un Conjunto de n. p elementos de un cuerpo K dispuestos en n filas y p columnas se le llaman matriz de tipo (n . p)

Abreviadamente la representaremos por A o por , dos matrices son iguales si tienen los mismos elementos e igualmente dispuestos. Los elementos son los componentes o coeficientes de la matriz A
Si n = 1 se llama matriz fila

Si p = 1tenemos una matriz columna

Si son nulos todos sus elementos se llama matriz nula
La matriz cuyos elementos son se dice matriz opuesta de A y se representa por –A
Si cambiamos filas por columnas obtenemos una matriz transpuesta de A
Si

La matriz transpuesta


Al transponer una matriz fila se transforma en una matriz columna
=
Si las matrices tienen igual número de filas que decolumnas se denominan Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada se dice simétrica si coincide con su transpuesta es ocurre cuando =
La matriz simétrica de orden n cuya diagonal tiene todos sus elementos iguales a 1 y el resto iguales a =0 , se llama Matriz Unidad.

Una matriz cuadrada (A) se llama triangular si tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de su diagonal.
Ala matriz cuadrada (A) de orden n se le puede hacer corresponder el determinante.
=
Ejemplos:
(A)= es del tipo (2,3)
Su matriz transpuesta, es
=
Su Matriz Opuesta
-(A)=
Matriz simétrica de 3x3

Y su determinante

= = -69


Matriz diagonal y a su vez unidad de 3x3

OPERACIONES CON MATRICES.
Suma de Matrices.
Dadas dos matrices
y



El producto de un elementopor una matriz (A) se define por = ()
=
Podemos decir que .] es un espacio vectorial de dimensión
El conjunto de la matrices de orden (m, n) forman grupo abeliano respecto de la suma +
1. La suma de matrices es l.c.i.

2. Tiene la propiedad Asociativa

3. Existe elemento neutro

4. Cada Matriz tiene su simétrica

5. Tiene la propiedad Conmutativa

Además
Dados dos escalaresy
6.
7.
8.
9. 1 A = A
PRODUCTOS DE MATRICES
El producto de las, matrices (A) por (B) (A).( B) , sólo es posible hacerlo si el número de filas de A coincide con el número de columnas de B.
La matriz resultante producto de A.B tiene tantas columnas como (A) y tantas filas como (B)
El elemento que ocupa un lugar (i, j) en la matriz producto (A.B) se obtiene: sumando los productos delos elementos de la fila i de la matriz B por los correspondientes elementos de la columna j de la matriz A

=
En general
=


= =
(2filas x 3 columnas) (3 filas x 2 columnas) = (2 filas x 2 columnas)
El esquema de formación de cada elemento de la matiz producto es:
=
Propiedades del producto de matrices.
1. El producto de una matriz por otra es una matriz
: A x B
Simultiplicamos una matriz por
Debemos obtener una matriz A X B de 4 filas x 3 columnas

Si son dos matrices cuadradas el producto da otra matriz cuadrada
: A x B

Por ---> A X B =
El producto de una matriz de orden (m, n) por una matriz columna (n, 1) es una matriz columna de orden (m, 1)
=
El producto de una matriz fila por una matriz columna es un escalar.
= 27
2. Elproducto de matrices no tiene en general la propiedad conmutativa.

Esto no quiere decir que haya casos en que se cumpla
Por ejemplos las matrices A = y B = no la cumplen
x =
x =
Sin embargo
A = y B = si la cumplen
x =
x =
3. El producto de matrices tiene la propiedad asociativa ( siempre que los órdenes de las matrices lo permitan)
: A x B


Ejemplo:
y
= (= (
4. El producto de matrices tiene la propiedad distributiva con relación a la suma por la derecha y por la izquierda :

x= x + x
x= +
=

= +
+

5. La matriz unidad es elemento neutro con r4especto a la multiplicación de las matrices cuadradas


= =

6. El producto de dos matrices puede ser la matriz nula sin que ninguna de las matrices sea nula.
Por tanto...