Matrices

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Matrices
En esta sección se estudiará el concepto de matriz, que constituye una herramienta muy útil en
diversos campos de la matemática y sus aplicaciones, así como el estudio deconceptos de mayor
complejidad. Por ahora las emplearemos como un instrumento en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.

Matrices
Una matriz es, simplemente, un arreglo rectangular de objetosde cualquier tipo; sin embargo, en
este curso estamos interesados en el estudio de matrices numéricas.

Conceptos básicos
Definición. Una matriz de tamaño m x n, con entradas R, es un arreglo rectangular de números
reales contituido por m filas y por n columnas.
En general, una matriz se describe de la siguiente manera:

Figura 1
Donde todos los aij (con i = 1, …, m y j= 1, …, n) sonnúmeros reales. Al elemento aij le llamaremos
entrada (i ; j) (o, también, elemento (i ; j) de la matriz A. Observe que el primer subíndice (i) indica
que el elemento correspondiente está ubicado en la i-ésima fila y el subíndice j indica que el
elemento está ubicado en la j-ésima columna. Denotaremos por Mmxn al conjunto formado por
todas las matrices de tamaño mxn.

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Ejemplo. Lamatriz que se da a continuación es de tamaño 3 x 3

En esta matriz la entrada (1; 2) es el número ubicado en laf ila 1 y en la columna 2; es entonces
igual a -10.
Usualmente escribiremos una matriz general – como la dada en la figura 1 -, de modo más
compacto:
A = (aij)mxn
Esta última notación indica que la matriz se llama A, que sus entradas se denotan aij y que posee m
filas y n columnas.Esta notación es muy útil para describir propiedades generales de las matrices o
para referirse a una matriz arbitraria.
Las filas de la matriz A son los vectores filas siguientes:
fila 1:
fila 2:
.
.
.
fila i:

(a11, a12, …, a1n)
(a21, a22, …, a2n)
.
.
.
(ai1, ai2, …, ain)

.
.
.
fila m:

.
.
.
(am1, am2, …, amn)

Las columnas de la matriz son los siguientes vectorescolumna:
columna 1:

…

columna j:

…

columna n:

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Ejemplo. Si

, entonces A tiene dos filas que son:

fila 1: (1, -2, 1)
fila 2: (2, 1, 3)

y tiene tres columna que son:
columna 1:

columna 2:

columna 3:

Para efectos teóricos, en algunas ocasiones resulta conveniente representar una matriz arbitraria
mediante sus filas o sus columnas. Por ejemplo, si A = (aij)mxnentonces podemos escribirla como

donde f1(A), f2(A), …, fm(A) son las filas de A. También podemos escribirla como
A = [ c1(A)

c2(A)

…

cn(A)]

donde c1(A), c2(A), …, cm(A) son las columnas de A.
A continuación se establece el concepto de igualdad de matrices.

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Definición. Dos matrices del mismo tamaño son iguales si y solo si sus entradas correspondientes
son iguales;es decir, si A = (aij)mxn y B = (bij)mxn entonces A = B si y solo si aij = bij para todo i (con i =
1, …, m) y para todo j (con j = 1, …, n).
Ejemplo. Si

y

Determinar los valores de a y b de modo que A = B
Solución. Igualando las entradas (1:1) de ambas matrices tenemos que a + 1 = b; igualando las
entradas (1:2) de ellas se tiene que b = 2. De acuerdo con esto, a = 1. Con estos dosvalores
podemos ver que las restantes entradas correspondientes de A y B son iguales.

Matrices Especiales
A continuación definimos algunas matrices especiales que seran útiles posteriormente
Matriz cuadrada. Es una matriz con el mismo número de filas que de columnas. Si la matriz es de
tamaño n x n se dice que es de orden n. Una matriz cuadrada es de la forma

La diagonal de A estáconformada por los números a11, a22, …, ann. Si i > j se dice que el elemento
aij está bajo la diagonal de A y, si i < j, el elemento aij está sobre la diagonal de A.

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Ejemplo. La matriz
es cuadrada de orden 2. Su diagonal está formada por las
entradas de las posiciones (1:1) y (2:2); es decir, 4 y -7 son los elementos de la diagonal. Sobre la
diagonal está -1 y bajo la diagonal aparece...