Matrices


REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
NÚCLEO ACADÉMICO PORTUGUESA










AUTORAS:





GUANARE, JULIO DE 2013

ESPACIOS VECTORIALES DE MATRICES
Las matrices pueden ser consideradas como un lenguaje algorítmico apropiado para estudiar transformaciones lineales entreespacios de dimensión finita.
Sea  un cuerpo y  enteros, una matriz  sobre  de orden (= tamaño)  es una tabla de  filas y  columnas cuyas entradas pertenecen a 

Los elementos  , y se conocen como las entradas de la matriz; el elemento de  ubicado en la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna se denota por La matriz  se denota brevemente por. La i-ésima fila de  se denota por  y puedeconsiderarse como un vector de  , la j-ésima columna de  se representa por:

y puede considerarse como un vector de . Dos matrices  y , del mismo tamaño, son iguales si y sólo si , para cada . Una matriz  se dice que es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas, es decir,. Una matriz fila es una matriz de una sola fila, una matriz columna es una matriz con una sola columna.El conjunto de matrices sobre  de tamaño  se denota por, para el conjunto de matrices cuadradas de tamaño  se utiliza la notación.
Se puede ya enunciar el primer hecho sobresaliente relacionado con los arreglos matriciales definidos arriba.
Proposición 1. Sea  un cuerpo y  el conjunto de matrices de tamaño  sobre. Entonces,  es un espacio vectorial sobre  de dimensión , respecto de lassiguientes operaciones:
,
La prueba de esta proposición es muy sencilla, solo se debe destacar que el vector nulo es la matriz nula:

La opuesta de la matriz  es la matriz, y la 
base canónica es:
 

Donde  es una matriz con una sola entrada no nula, la entrada correspondiente a laintersección de la r-ésima fila y la s-ésima columna, donde aparece el escalar.
Esta proposición es válida para todos los enteros positivos  y, en particular, se cumple para, es decir, para las matrices cuadradas.
Además de la suma de matrices y el producto de escalar por matriz definidos arriba, es posible realizar productos entre matrices que cumplan una condición de compatibilidad: el número decolumnas del primer factor debe coincidir con el número de filas del segundo factor.
Sean  matrices de tamaños  y , respectivamente. Se define el producto de  y, en ese orden, como la matriz
, ,
Nótese que el elemento  de la matriz producto corresponde a realizar la multiplicación entre lai-ésima fila de  y la j-ésima columna de:

Todas las propiedades enunciadas en la siguiente proposición se demuestran directamente a partir de las definiciones anteriores.
Proposición 2. Sean  matrices sobre el cuerpo  tal que cumplen las condiciones de compatibilidad requeridas para cada una de las operaciones indicadas. Entonces:
1) 
2) 
3) 
4), para cada 
5) Para cada  se definela matriz idéntica de orden  como la matriz cuadrada  de tamaño,

Es decir, , donde  si , y  si . Entonces, para cada matriz  de orden  se tiene que ,
Donde en la primera ecuación  denota la idéntica de orden  y en la segunda  es la idéntica de orden. Una matriz cuadrada  de orden  es invertible si existe otra del mismo orden tal que
De la discusión anterior se obtiene de manerainmediata la siguiente afirmación.
Proposición 3. Sea  un cuerpo y  el conjunto de matrices de tamaño  sobre. Entonces,  es un álgebra sobre.
Para definir la transpuesta de una matriz  de tamaño: se denota por  y es la matriz de tamaño  obtenida de  "convirtiendo" las columnas de  en filas, es decir, , para cada . Es fácil demostrar que si  y  son matrices compatibles para el producto,...