Matrices

MATRIZ
CONCEPTO DE MATRIZ
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensiónde una matriz.
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
RANGO DE UNA MATRIZ
Se llama menor de orden p de una matriz al determinante queresulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).En una matriz cualquiera  Amxn puede haber varios menores de un cierto orden p dado.
Definición
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menoresdistintos de cero.
El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).
Consecuencia
Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filasque de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior loselementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que loselementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t= Bt · At
Matriz regular: Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular: Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente: Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva: Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica ohemisimétrica: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan lamisma posición.
Propiedades
Interna:
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Elemento opuesto: A + (-A) = O
Conmutativa: A + B = B + A

MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At...